Zur Entwicklung von Variablenkonzepten beim Verallgemeinern mathematischer Muster (eBook)

Kathrin Akinwunmi (Autor)

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2012
313 Seiten
Vieweg & Teubner (Verlag)
978-3-8348-2545-2 (ISBN)

Infos

Das Verallgemeinern mathematischer Muster ist eine grundlegende Tätigkeit des Mathematikunterrichts und zugleich ein zentraler Zugang zur Algebra. Dies nutzt Kathrin Akinwunmi, um sich mit der propädeutischen Entwicklung von Variablenkonzepten in der Grundschule zu beschäftigen. Sie geht der Frage nach, wie GrundschülerInnen Muster verallgemeinern und wie sich dabei Variablenkonzepte entwickeln. In einer Interviewstudie mit 30 ViertklässlerInnen untersucht die Autorin die Verallgemeinerungsprozesse der Lernenden aus epistemologischer Perspektive. In der Datenanalyse rekonstruiert sie Begriffsbildungsprozesse zu Variablenkonzepten und arbeitet sprachliche Mittel heraus, welche die Lernenden bei Verallgemeinerungen mathematischer Muster nutzen.

Autor

Dr. Kathrin Akinwunmi ist wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts der TU Dortmund.

Inhalt

Geleitwort 6
Danksagung 8
Inhaltsverzeichnis 9
Abbildungsverzeichnis 15
Tabellenverzeichnis 20
Verzeichnis epistemologischer Dreiecke 21
Transkriptionsregeln 22
Einleitung 23
1 Variablen in der elementaren Algebra – Bedeutung und Schwierigkeiten 29
1.1 Die Bedeutung von Variablen und Variablenkonzepten 29
1.1.1 Variablen und Variablenkonzepte 30
1.1.2 Die Rolle von Variablen in der elementaren Algebra 36
1.2 Schwierigkeiten beim Variablenverständnis 44
1.2.1 Die Überbetonung des Kalküls und die fehlende Sinnstiftung 46
1.2.2 Die Vieldeutigkeit von Variablen 49
1.2.3 Der Bruch zwischen Arithmetik und Algebra 54
1.3 Weiterführende Forschungsinteressen 57
2 Lerntheoretische Grundlagen 61
2.1 Begriffsentwicklung aus konstruktivistischer Perspektive 62
2.2 Begriffsentwicklung aus epistemologischer Perspektive 66
2.2.1 Der besondere Charakter von Kommunikation 67
2.2.2 Der besondere Charakter mathematischer Begriffe 69
2.2.3 Das epistemologische Dreieck 72
2.2.4 Die Rolle der ‚Alltagsbegriffe’ in der Begriffsentwicklung 77
2.3 Zusammenfassung 80
3 Zur propädeutischen Entwicklung von Variablenkonzepten in der Grundschule 82
3.1 Didaktische Grundlagen 82
3.1.1 Das genetische Prinzip 83
3.1.2 Das Spiralprinzip 89
3.2 ‚Early Algebra’ 91
3.2.1 Algebraisierung des Mathematikunterrichts der Grundschule 93
3.2.2 Untersuchungen zu algebraischen Kompetenzen von Grundschulkindern 97
3.2.3 Zusammenführung der Überlegung zur propädeutischen Entwicklung von Variablenkonzepten 99
3.3 Die Bedeutung der Sprache und der Wortvariablen 101
3.3.1 Zur phylogenetischen Entwicklung der algebraischen Sprache 101
3.3.2 Zur ontogenetischen Entwicklung der algebraischen Sprache 105
3.3.3 Die Rolle von Quasi-Variablen 109
3.4 Zusammenfassung 110
4 Das Verallgemeinern mathematischer Muster 113
4.1 Das Verallgemeinern als Leitidee zur Einführung von Variablen 114
4.1.1 Die Tätigkeit des Verallgemeinerns aus algebraischer Perspektive 114
4.1.2 Der Kontext des Verallgemeinerns als Zugang zur Algebra 118
4.2 Das Verallgemeinern als grundlegende Tätigkeit im Mathematikunterricht 129
4.2.1 Mathematik als die Wissenschaft von den Mustern 130
4.2.2 Verallgemeinern: Das Allgemeine im Besonderen erkennen und beschreiben 133
4.3 Zusammenfassung 136
5 Forschungsfragen und Untersuchungsdesign 138
5.1 Zentrale Forschungsfrage 138
5.2 Aufbau der Interviewstudie 141
5.2.1 Das klinische Interview als Methode zur Datenerhebung 143
5.2.2 Die Konzeption der Interviewaufgaben 144
5.2.3 Auswahl der teilnehmenden Schülerschaft 166
5.2.4 Auswertung der Daten 167
5.3 Auffächerung der zentralen Forschungsfrage 169
6 Ergebnisse 172
6.1 Die Entwicklung von Variablenkonzepten im Verallgemeinerungsprozess 172
6.1.1 Erstes Fallbeispiel: Thorsten 173
6.1.2 Zweites Fallbeispiel: Lars 182
6.1.3 Zusammenfassung und Fazit 187
6.2 Sprachliche Mittel zur Verallgemeinerung mathematischer Muster 188
6.2.1 Verallgemeinerungsweisen 189
6.2.2 Angabe eines repräsentativen Beispiels (mit Kennzeichnung des Beispiels als solches) 191
6.2.3 Aufzählung mehrerer Beispiele (ggf. mit Verweis auf Fortlauf) 195
6.2.4 Quasi-Variablen 196
6.2.5 Bedingungssätze 197
6.2.6 Verwendung von Wörtern oder Zeichen mit Variablencharakter 199
6.2.7 Mischformen 201
6.2.8 Zusammenfassung und Fazit 202
6.3 Der Zusammenhang von Strukturierung und Versprachlichung 204
6.3.1 Fallbeispiel: Kai 205
6.3.2 Zusammenfassung und Fazit 210
6.4 Die Rolle des Kontextes bei der Verallgemeinerung 212
6.4.1 Verallgemeinerungen im Kontext Plättchenmuster 213
6.4.2 Verallgemeinerungen im Kontext Partnerzahlen 215
6.4.3 Verallgemeinerungen im Kontext Zaubertrick 217
6.4.4 Zusammenfassung und Fazit 219
6.5 Die Verallgemeinerung von Mustern verschiedener Darstellungsebenen 220
6.5.1 Die Loslösung von der geometrisch-visualisierten Ebene 221
6.5.2 Die Verknüpfung von verschiedenen Darstellungsebenen 225
6.5.3 Die Strukturentwicklung auf geometrisch-visualisierter und arithmetischer Ebene 229
6.5.4 Zusammenfassung und Fazit 235
6.6 Die Rolle von expliziten und rekursiven Sichtweisen bei der Verallgemeinerung 235
6.6.1 Explizite und rekursive Deutungen der Folgen 237
6.6.2 Proportionalitätsannahme 244
6.6.3 Die Bedeutung verschiedener Musterstrukturierungen für die Verallgemeinerung 251
6.6.4 Zusammenfassung und Fazit 253
6.7 Die Verallgemeinerung von Beziehungen zwischen unbestimmten Zahlen 254
6.7.1 Operationale und strukturelle Deutungen der Beziehung 255
6.7.2 Einseitige und beidseitige Deutungen der Beziehung 257
6.7.3 Das Einnehmen verschiedener Perspektiven auf die Beziehung zwischen zwei Zahlen 259
6.7.4 Anforderungsbedingte Wechsel 262
6.7.5 Durch den Charakter der Beziehung bedingte Wechsel 264
6.7.6 Zusammenfassung und Fazit 271
6.8 Die Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ im Kontext des Verallgemeinerns 273
6.8.1 Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ als Unbestimmte undZahl+20 als neue unabhängige Variable 274
6.8.2 Deutung der Wortvariablen ‚Zahl‘ als Unbestimmte undZahl+20 als Term 277
6.8.3 Orientierung an den Symbolen ‚+20’ ohne explizite Deutung der Wortvariablen 280
6.8.4 Zusammenfassung und Fazit 283
6.9 Die Rolle der Verallgemeinerung beim Argumentieren 284
6.9.1 Erstes Fallbeispiel: Niklas 286
6.9.2 Zweites Fallbeispiel: Ali 290
6.9.3 Zusammenfassung und Fazit 293
7 Zusammenfassung und Ausblick 296
7.1 Zusammenfassung 297
7.2 Ausblick 303
7.2.1 Folgerungen und Fragen für die Erforschung vonLernprozessen und für die Unterrichtsentwicklung 303
7.2.2 Folgerungen für die Praxis 305
7.3 Schlussbemerkung 308
Literaturverzeichnis 310

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 11.11.2012
• Reihe/Serie: Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts
• Reihe/Serie: Dortmunder Beiträge zur Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts
• Zusatzinfo: XXV, 313 S.
• Verlagsort: Wiesbaden
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Algebra • Begriffsbildungsprozesse • Mathematikdidaktik • Mathematische Muster • Primarstufe • Variablenkonzept
• ISBN-10: 3-8348-2545-X / 383482545X
• ISBN-13: 978-3-8348-2545-2 / 9783834825452