Streifzug
Akademischer Verlag München
9783940732422 (ISBN)
In dem vorliegenden Buch „Streifzug durch die Mathematik und theoretische Physik“ wird der Versuch unternommen, dem mathematisch und physikalisch interessierten Leser einen Querschnitt durch die theoretische Physik und die dort angewandte Mathematik zu geben. Obwohl dieses Buch ein breites Spektrum mathematischer Gebiete, die teilweise über die unmittelbare Anwendbarkeit hinausgehen, überdeckt, ist es weniger an die Leser gerichtet, die nur an der reinen Mathematik interessiert sind, als vielmehr an die Leser, die an der Anwendung der Mathematik besonders in der theoretischen Physik interessiert sind. Dem Zweck entsprechend ist auf eine strenge Herleitung und Beweisführung von Formeln gelegentlich verzichtet worden, die in weiterführender Literatur nachgelesen werden können. Der an der theoretischen Physik interessierte Leser findet in diesem Buch die wichtigen physikalischen Disziplinen und viele mathematische Grundlagen, die zu deren Verständnis erforder¬lich oder zumindest förderlich sind. Einzelne Kapitel können auch isoliert voneinander gelesen werden, andere wiederum benötigen die Kenntnisse vorausgehender Kapitel. Schon immer haben sich die beiden Wissenschaften Mathematik und Physik gegen¬seitig stark beeinflusst und befruchtet. In der Mathematik sind auf rein axiomatischer Basis Strukturen entwickelt worden, die sich später in den Naturwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. So hat zum Beispiel die Gruppentheorie in der Physik bei der Behandlung von Symmetrien große Dienste geleistet. Anderseits sind die in der Physik oft aus praktischen Gründen eingeführten Größen erst in der Mathematik auf eine fundierte Grundlage gestellt worden. Ein Beispiel dafür ist die Dirac'sche Delta-„Funktion“, die in der Mathematik als Distribution bezeichnet wird. Die gegenseitige Befruchtung der beiden Wissenschaften hat treffend Martin Schechter von der University of California ausgedrückt:
„Die Wechselwirkung zwischen Mathematik und Physik hat zu allen Zeiten eine wichtige Rolle gespielt. Der Physiker, der nur vage mathematische Kenntnisse besitzt, ist sehr im Nachteil. Der Mathematiker, der kein Interesse an physikalischen Anwen¬dungen besitzt, verbaut sich Motivationen und tiefere Einsichten.“
Meinen Dank möchte ich dem Akademischen Verlag München aussprechen, dass er meinen Wünschen hinsichtlich Ausstattung des Buches in verständnisvoller Weise nachgekommen ist.
Der Verfasser
Wenn für dich eine Sache schwer zu bewältigen ist, darfst du nicht leichtfertig denken, sie sei für Menschen unmöglich; du musst vielmehr glauben, wenn überhaupt etwas für den Menschen möglich ist und in seinem Bereich liegt, dass es auch für dich erreichbar sei.
Marc Aurel
Inhaltsverzeichnis
I.Mathematische Strukturen und Räume Seite 01
Mengen-Typen (1), Mengen-Operationen(2), Abbildungen von Mengen(3), Strukturierte Mengen (Räume) (5), Strukturtreue Abbildungen von Räumen (7), Ordnungsstruktur (Relativ, Gebilde) (8), Algebraische Struktur (11), Topologische Struktur (13), topologische Basis und Umgebung (13), topolo-gische Grundbegriffe (Inneres, Äußeres, Rand, offen und abgeschlossen) (15), ausgezeichnete Punkte (16), spezielle Topologien unendlicher Mengen (18), Eigenschaften des topologischen Raumes (Separiertheit, Konvergenz, Dichtheit, Kompaktheit, Zusammenhang) (23), Homotopie (28) Homöomorphismus (28), Graphentheorie (30), Spektrum eines Graphen (34), Teilgraph und Untergraph (36), Direktes Produkt von Graphen (37), Homomorphie und Isomorphie von Graphen (37), Topologischer Graph (39), Plättbarkeit (41), Verbandstheorie (43), Verband und seine Axiome (43); Teilverband, Unterverband und Verbandsideal (45), direktes Produkt von Verbänden (46), Spezielle Verbände (modulare, distributive, Boolesche) (47), Zusammenstellung endlicher Verbände (50) Gruppentheorie (51), Halbgruppe (51), diskrete Gruppen (51), Konjuga¬tionsklassen (53), Untergruppe (54), Restklassen (55), Normalteiler und Faktor¬gruppe (56), spezielle Untergruppen (Zentrum, Normalisator, Zentralisator) (58), Permutationsgruppen (59), Zyklus-Struktur oder Zyklus-Typ (62), Symmetri-sche und alternierende Gruppen und ihre Untergruppen (66), Symmetrische Gruppen und Graphen (68), Multiplikationstafeln einiger Symmetriegruppen und ihrer Untergruppen (69), Punktgruppen (71), zyklische Gruppen und p-Gruppen (72), Verband von Untergruppen (73), Homomorphie- und Isomor-phiesätze (76), Untergruppenverbände von Punktgruppen (78), Darstellungs-theorie von Gruppen (unitäre, reduzible, treue, reguläre Darstellung) (86), Darstellung der kontinuierlichen Drehgruppe (92), Darstellung der Lie-Algebra (94), Charakter einer Darstellung und seine Gesetzmäßigkeiten (94), Topologische Gruppen (99), Ring (101), Ringeigenschaften (101), Unterring und Ideal (102), Faktorring (Restklassenring) (103), Charakteristik (105), Körper (106), Körpereigenschaften (Integritätsbereich, Quotientenkörper) (106), Unterkörper und Primkörper (107), Charakteristik (108), endliche Körper (108), Hierarchie mathematischer Räume (110), Linearer Vektorraum (111), Untervektorraum und lineare Hülle (112), Lineare Unabhängigkeit und Basis (113), direkte Summe und Tensorprodukt (114), Mannigfaltigkeit (116), Affiner Raum (119), Lokal konvexer Raum (120), Uniformer und metrischer Raum (121), normierter Raum (122), Banach-Raum (123), Prähilbert-Raum (124), Hilbert-Raum (125), unitärer Raum (Euklidischer Raum) (127), Riemann¬scher Raum (128),
Abbildung von Vektorräumen (129), Vektorraum der linearen Abbildungen (130), Dualer Vektorraum und Skalarprodukt (130), Orthonormalsystem (131), Skalarprodukt und ihre Vektorräume (132), Hyperkomplexes System oder Algebra (Unteralgebra, Ideal, Einfachheit, Divisionsalgebra) (134), Algebra der Abbildungen (137), Clifford-Algebra (138), Lie-Algebra (141)
II.Operatoren und Matrizen Seite 143
Lineare Operatoren im Hilbert-Raum (Adjunktion, Normalität, Hermitizität, Unitarität) (143), (Anti-)Kommutator-Algebra (146), Projektionsoperatoren (147), Spektralzerlegung von Vektoren und Operatoren (148), Wechsel von einer Darstellung in eine andere Darstellung (150), Anwendung in der Quanten-mechanik (151), Statistische Gesamtheiten (152), Matrizen (153), Rechen-operationen von Matrizen (Adjunktion, Addition, Subtraktion, skalare und tensorielle Multiplikation) (154), reziproke Matrizen (158), direkte Summe und direktes Produkt von Matrizen (159), Invarianten (Rang, Spur, Determinante) einer Matrix (161), Normale (hermitesche, antihermitesche, unitäre, idem-potente, unimodulare, spurlose) Matrizen (165), irreduzible und reduzible Matrizen (167), trigonale Matrix (169), Transformation von Matrizen (171), Spektraltheorie (175), Spektrum normaler Matrizen (176), Matrizenfunktion (177), Trigonalisierung von Matrizen (180)
III.Affiner metrischer Raum, Tensoren und Spinoren Seite 184
co- und kontra-variantes Basissystem (184), metrischer Fundamentaltensor (186), Spezielle Metriken (symmetrische, schiefsymmetrische, sphärische) (187), Tensoren (191), Komponentendarstellung von Tensoren (192), Tensor-algebra (Addition und Subtraktion, Erweiterung und Verjüngung) (195), Symmetrische Tensoren und Symmetrisierung (196), Zerlegung symmetrischer Tensoren (198), antisymmetrische Tensoren und Antisymmetrisierung (200), Rechenregeln für Kronecker-Tensoren (202), Permutationssymbol (Levi-Civita-Symbol) (203), Absoluter total antisymmetrischer Pseudotensor (204), duale Ergänzung (205), Ausdehnungselemente (208), Differentiale im Euklidischen Raum (210), Beziehung zwischen kovarianten und kontravarianten Multibasis¬vektoren (212), (Differential-)Vektorprodukte (213), Spinoren (gewöhnliche und indexpunktierte, symmetrische und antisymmetrische) (217), sphärische oder kanonische Tensoren (219), Zusammenhang zwischen sphärischen Tensoren und symmetrischen Spinoren (220), Transformationen und Trans¬formationsäquivalenzen (221), Ausreduzieren von Tensoren und Spinoren (226), Bedeutung symmetrischer Tensoren und Spinoren in der Physik (227), Beschreibung von Wellenfunktionen (228)
IV.Transformation im Riemann'schen Raum Seite 230
Koordinaten und Transformationsmatrizen (230), Transformation von Tensoren (232), aktive und passive Transformation (234), invariante Eigen-schaften von Tensoren und Spinoren (235), Zusammenhang zwischen Transformationsmatrizen und Basisvektoren (237), Transformation von Vektoren und Tensoren (238), Transformation des Fundamentaltensors (238, 239), Transformation von Feldern (242), Spezielle Transformationen (unimodu¬lare, unitäre) (242), Transformationen in krummlinigen Koordinaten (Christof¬fel-Symbole) (243), Transformationen von Spinoren (unimodulare, unitäre) (245), Transformationsäquivalenz von Tensoren und Spinoren (250), Drehungen im 4-dimensionalen Minkowski-Raum (254), koordinatenunabhängige Form der Lorentz-Transformation (262)
V.Riemann'scher Raum und Tensoranalysis Seite 263
Riemann'scher Raum (Linienelement, Winkel, Volumenelement) (265), Chris-toffel-Symbole (267), Krümmungstensor (269), Kovariante Differentiation (273) Kovariante Gradientenbildung (273), Doppelte kovariante Gradienten-bildung (275), Kovariante Divergenzbildung (276), Kovariante Rotorbildung (277), Lie-Ableitung (278), Integration von Tensoren (279) Anwendung (281)
VI.Kontinuierliche Gruppen (Lie'sche Gruppen) Seite 283
allgemeine lineare homogene Lie'sche Gruppe (283), Verband Lie'scher Untergruppen (284), Beschreibung Lie'scher Gruppen (285), Verwendung von Lie-Gruppen in der Elementarteilchen-Physik (289), Gruppenmannigfaltigkeit (290), Lorentzgruppe und ihre Untergruppen (294), Untergruppen der inhomo-genen Lorentz-Gruppe (Poincaré-Gruppe) (298), Lie'sche Algebra (299), Verband Lie'scher Algebren (301), Beschreibung Lie'scher Algebren (302), Darstellung und Kommutatortabellen Lie'scher Algebren (su(2), so(3), su(3), so(4), so(1,3), su(4), sp(2), sp(4)) (304), reguläre Darstellung der Lie-Algebra (324), Drehimpulsalgebra (325), Lie-Algebra von Fermionen-Operatoren am Beispiel der su(2)-Algebra (328), Lie-Algebra von Bosonen-Operatoren am Beispiel der sp(2)-Algebra (331), Übergang von der Lie'schen Algebra zur Lie'schen Transformationsgruppe (336), Infinitesimale Transformationen (Matrix-Generatoren, Differential-Generatoren, kombinierte Matrix- und Diffe¬rential-Generatoren) (338), Anwendung in der Quantenmechanik (Translation, Rotation, Gesamtdrehimpuls) (346), Casimir-Operatoren (invariante Operatoren) (349), Multiplett (350), Cartan-Weyl-Basis von Operatoren (351), Wurzel¬vektoren der su(n)-Algebra (352), Kommutatorbeziehungen (353), metrischer Tensor (354), Beispiele (su(2) und su(3)) (355),
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (Bosonen und Fermionen) (358), Lie-Algebra von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (konstanter 2- und 3-Teilchen-Zustand, variabler Fermionenzahl-Zustand, variabler Bosonenzahl-Zustand) (361)
VII.Variationsrechnung(Differentialgleichungen) Seite 377
Variationsprinzip (377), Randbedingungen (379), Erhaltungsgrößen (380), Eichvarianz der Euler-Lagrange-Differentialgleichung (380), Anwendung des
Variationsprinzips (381), Variation mit mehreren abhängigen Variablen (Argu-mentfunktionen) (383), Variation mit mehreren unabhängigen Variablen (384), Variation mit Nebenbedingungen (386), zweite Variationsableitung (389), Vorzeichen der zweiten Variation (389), Verallgemeinerung (mehrere Extremal¬funktionen, mehrere unabhängige Variablen) (391)
VIII.Klassische Kinematik und Mechanik Seite 393
4-Vektoren im Minkowski-Raum (394), Eigenzeit (394), relativistische Beschleunigung (395), Invarianten im Minkowski-Raum (395), Klassische relativistische Mechanik (396), Eichinvarianz der Bewegungsgleichung (397), Hamilton'sche oder kanonische Bewegungsgleichungen (398), Bewegungs-gleichung im elektromagnetischen und gravitativen Feld (400), Nichtrelati-vistische Näherung (401), Erhaltungsgrößen (402)
IX.Klassische Feldtheorie Seite 406
Vergleich von klassischer Korpuskulartheorie und klassischer Feldtheorie (406), Eichinvarianz der Feldgleichungen (410), Energie-Impuls-Tensor (411), Energie-Impuls-Tensor im Riemann'schen Raum (412), Divergenz des Energie-Impuls-Tensors (413), Erhaltungsgrößen (415), Variation der Lagrangedichte und der Wirkung (415), Lorentz-Invarianz (418), Vektorfeld (420), Skalarfeld (421), Schrödinger Feld (423), Dirac-Feld (424), Schwingende Saite (427), Maxwell-Feld (428), Feldstärketensor (429), Kontinuitätsgleichung (431), Elektrostatisches Maßsystem (431), Lorentz- und Coulomb-Eichung (432) Energie-Impuls-Tensor des Maxwell-Feldes (433), Gleichungen des elektro¬magnetischen Feldes im Gravitationsfeldes (435), Kovarianz der Elektro¬dynamik (436), Ebene monochromatische Welle (438)
X.Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie Seite 440
Klassische Welle (440), Materie-Welle (relativistisch) (442), Wellenmechanik und klassische Mechanik (443), Klassische Welle (nicht relativistisch) (444), nicht-relativistische Wellenmechanik (445), Welle-Teilchen-Dualismus (447), Poisson-Klammer und Kommutator (447), Korrespondenz klassische Mechanik-Quantenmechanik (449), Zeitabhängigkeit dynamischer Größen (451), Un¬schärfebeziehung bei klassischen Wellen (451), Korrespondenz klassische Welle-Quantenmechanik (454), Unschärferelation nicht-kommutierender Opera¬toren (454), Vergleich Schrödinger- und Heisenberg-Bild (455), Klein-Gordon-Gleichung (456), Kontinuitätsgleichung im nicht-relativistischen Grenzfall (459), Linearisierung des Wurzeloperators (459), Dirac-Operator und Dirac-Gleichung (462), Absorption und Emission (465), Hamilton-Operator mit Störung (467), Auswahlregeln (Dipol, Quadrupol, Oktupol) (467), Auswahl¬regeln bei Kugelsymmetrie (469), System identischer Teilchen (470), Feld¬quantisierung (474), Kanonische Quantisierung (475), Quantenfeldteorie (476)
XI.Anhang Seite 480
Charakterentafeln
XII.Register Seite 485
| Erscheinungsdatum | 05.03.2020 |
|---|---|
| Verlagsort | München |
| Sprache | deutsch |
| Maße | 148 x 210 mm |
| Gewicht | 400 g |
| Themenwelt | Mathematik / Informatik ► Mathematik |
| Naturwissenschaften | |
| Schlagworte | Feldtheorie • Gruppen • Kinematik • Mengenlehre • Strukturen und Räume |
| ISBN-13 | 9783940732422 / 9783940732422 |
| Zustand | Neuware |
| Informationen gemäß Produktsicherheitsverordnung (GPSR) | |
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