Von Eins bis Neun - Große Wunder hinter kleinen Zahlen (eBook)

Über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer

Marc Chamberland (Autor)

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2016 | 1. Auflage
XI, 242 Seiten
Springer-Verlag
978-3-662-50251-8 (ISBN)

Infos

Eine Schatztruhe mathematischer Miniaturen

Dieses Buch ist eine Einladung zu einer spannenden Entdeckungsreise. Ausgehend von den einstelligen Zahlen eröffnet Marc Chamberland seinen Lesern den Blick auf eine weite mathematische Landschaft. Warum zeigt ein Skatspiel, das man achtmal perfekt gemischt hat, wieder genau dieselbe Kartenfolge? Sind zwei beliebige Menschen auf der ganzen Erde tatsächlich über eine 'Bekanntenkette von sechs Personen' miteinander verbunden? Weshalb lässt sich jede Landkarte mit nur vier Farben so einfärben, dass sich nie zwei Gebiete mit derselben Farbe berühren? Die Zahlen Eins bis Neun erweisen sich als höchst bemerkenswerte mathematische Objekte, von denen aus der Autor ein Netz von Querverbindungen zu verschiedenen Feldern der Mathematik spannt, von der Zahlentheorie über die Geometrie, die Chaostheorie und die numerische Mathematik bis zur mathematischen Physik.

Jedes Kapitel ist einer dieser neun Zahlen gewidmet. Zu Beginn stehen stets einfache Problemstellungen; im Verlauf des Kapitels nimmt der Schwierigkeitsgrad zu. Jedes Mal durchstreift Chamberland ein weitläufiges Areal: So ist etwa die Drei ebenso mit der Chaostheorie verknüpft wie mit einem noch ungelösten Problem der ägyptischen Brüche, mit der Anzahl der Aufsichthabenden in einer Kunstgalerie und der Problematik von Wahlergebnissen. Bei der Sieben geht es um Matrizenmultiplikation, die Transsilvanienlotterie, die Synchronisation von Signalen und den Klang einer Trommel. Immer wieder sind auch Rätsel zu lösen wie das der perfekten Quadrate, das Huträtsel oder die Catalan'sche Vermutung. Das Buch ist in viele kurze Abschnitte unterteilt, die man unabhängig lesen und häppchenweise konsumieren kann - was beim Ham-Sandwich-Satz und beim Pizzatheorem durchaus wörtlich genommen werden darf.

Mit den über 100 Miniaturen öffnet der Autor eine wahre mathematische Schatztruhe - für Neugierige und Kenner, für Oberstufenschüler wie für Hochschulstudenten, für gestandene Mathematiker ebenso wie für alle, die von Mustern fasziniert sind.

Marc Chamberland ist Inhaber der Myra-Steele-Professur für Naturwissenschaften und Mathematik am Grinnell College in Iowa, USA, und hält dort unter anderem Vorlesungen über Differenzial- und Integralrechnung, lineare Algebra, lineare Programmierung und Chaostheorie. Er ist Autor bzw. Co-Autor von über 40 Veröffentlichungen in referierten Fachzeitschriften. Besonders am Herzen liegt ihm derzeit die experimentelle Mathematik. Chamberland betreibt außerdem den YouTube-Kanal Tipping Point Math, der einem breiten Kreis von Interessenten mathematische Fragen nahebringen soll.

Inhalt

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
1 Die Zahl Eins 13
Geschnittene Origamis 14
Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt 14
Die eindeutige Darstellung von Zahlen 17
Zur Faktorzerlegung von Knoten 18
Abzählbare Mengen und die Stern-Brocot-Folge 20
Fraktale 22
Gilbreaths Vermutung 25
Das Benford'sche Gesetz 26
Der Fixpunktsatz von Brouwer 28
Inverse Probleme 29
Perfekte Quadrate 30
Der Satz von Bohr-Mollerup 31
Die Sätze von Picard 33
2 Die Zahl Zwei 35
Der Jordan'sche Kurvensatz und Paritätsargumente 35
Das Seitenverhältnis 37
Wie symmetrisch sind Sie? 38
Der Satz des Pythagoras 39
Beatty-Folgen 42
Die Euler'sche Formel 43
Bedeutende Probleme 44
Die Goldbach'sche Vermutung 45
Gequetschte Primzahlen 46
Die Primzahlzwillings-Vermutung 46
Primzahlen in schnellerer Abfolge 48
Der Satz von Stone-Tukey 48
Potenzmengen und Zweierpotenzen 50
Der Satz von Sylvester-Gallai 53
Formeln für ? 53
Die Multiplikation 55
Die Thue-Morse-Folge 55
Dualität 58
Apollonische Kreispackungen 61
Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen 63
Die pythagoreische Stimmung und die Wurzel aus 2 64
Reziprok quadratische Abstandsgesetze 67
Die Ungleichheit von arithmetischem und geometrischem Mittel 68
Positive Polynome 69
Das Newton-Verfahren zum Ermitteln von Nullstellen 71
Mehr zur Division mittels Multiplikation 73
Der Reiz von ?2/6 74
Die Jacobi-Vermutungen 77
3 Die Zahl Drei 80
Das (3x+1)-Problem 80
Dreieckzahlen und bulgarisches Solitär 82
Schere, Stein, Papier und die Borromäischen Ringe 84
Zufallsbewegungen 86
Die Dreiteilung von Winkeln 88
Das Drei-Körper-Problem 89
Der Lorenz-Attraktor und das Chaos 91
Die Periode 3 bedeutet Chaos 94
Muster bei den Sternen 96
Der Große Fermat'sche Satz 97
Reste gefällig? 100
Ägyptische Brüche 101
Arrows Unmöglichkeitstheorem 104
Kartierungsoberflächen 106
Aufsicht in einer Galerie 107
Die Poincaré-Vermutung 108
Monges Drei-Kreise-Problem 110
Der Satz von Marden 112
Das Reuleaux-Dreieck 114
Der dritte kritische Punkt 116
Summen dritter Potenzen 118
Näherungen für Zerfallsgesetze 120
4 Die Zahl Vier 121
Der Vier-Farben-Satz 122
Der Tennisballsatz 124
Identitäten von Summen von Quadraten 125
Vier-Teile-Puzzle 126
Ducci-Folgen 127
Die Euler'sche Potenzsummenvermutung 130
Villarceau-Kreise 131
Das Problem einbeschriebener Quadrate 133
Regelmäßige Vielecke auf dem Computerbildschirm 135
Das Problem der vier Reisenden 136
Die Vermutung über die vier Exponenten 138
Sehnenvierecke 140
Das Huträtsel 142
5 Die Zahl Fünf 143
Der Fünf-Kreise-Satz von Miquel 143
Die platonischen Körper 144
Zur Lösung von Polynomgleichungen 145
Die Diophantische Approximation 148
Der Petersen-Graph 149
Das Happy-End-Problem 151
Parkettierungen 152
Von Kugeln und Würsten 155
Rösselsprung auf rechteckigen Spielbrettern 156
Ein Zauberkunststück mit fünf Karten 158
Von Fußbällen und Kuppeln 160
Endlose Rekursion 161
Die Rogers-Ramanujan-Identitäten 162
6 Die Zahl Sechs 167
Die optimale Packung 167
Von Bekannten und Fremden 171
Das Kleine-Welt-Phänomen 172
Ein Collier aus Kugeloberflächen 174
Sechsecke im Pascal'schen Dreieck 175
Das Brettspiel Hex 176
Die Wendt-Determinante 178
Sechs Längen in der Geometrie 179
Der Satz von Ceva 179
Der Satz von Menelaos 179
Der Satz von Haruki 180
7 Die Zahl Sieben 181
Der Sieben-Kreise-Satz 181
Die Nachkommastellen von 1/7 und Ellipsen 182
Die Strassen'sche Matrizenmultiplikation 184
Die Fano-Ebene 186
Friesmuster 189
Das Szilassi-Polyeder und der Heawood-Graph 189
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz 191
Hört man die Form einer Trommel? 193
Barker-Codes 196
Mathematische Spielereien 198
Experimente mit Integralen 199
8 Die Zahl Acht 202
Das Pizzatheorem 202
Wie man Karten mischt 203
Das Spiel des Lebens 204
Wiederholungen im Pascal'schen Dreieck 207
Der Sierpi?ski-Teppich 208
Quaternionen und Oktonionen 209
Der E8-Gipfel 213
9 Die Zahl Neun 216
Neun Punkte und Kollinearität 217
Die Neunerprobe 218
Primzahlen und Neunen 219
Ungerade vollkommene Zahlen 219
Primzahlzwillinge 220
Nahegelegene Primzahlen 220
Der 15-Satz 220
Wie man Kreise mit zwei Größen packt 222
Die Catalan'sche Vermutung 223
Die Heegner-Zahlen 224
10 Lösungen 227
Vier-Teile-Puzzle (4. Kapitel) 227
Das Huträtsel (4. Kapitel) 227
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz (7. Kapitel) 228
Mathematische Spielereien (7. Kapitel) 228
Literatur 229
Sachverzeichnis 233

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 29.9.2016
• Übersetzer: Michael Basler
• Zusatzinfo: XI, 234 S. 106 Abb.
• Verlagsort: Berlin
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Natur / Technik ► Naturwissenschaft
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Chaostheorie • Geometrie • Kombinatorik • Mathematik • Mathematikgeschichte • Mathematische Physik • Mathematische Theoreme • Numerische Analyse • Topologie • Zahlen • Zahlentheorie
• ISBN-10: 3-662-50251-8 / 3662502518
• ISBN-13: 978-3-662-50251-8 / 9783662502518