Mathematik für Chemiker (eBook)

Ansgar Jüngel, Hans Gerhard Zachmann (Autoren)

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2023 | 8. Auflage
XVI, 768 Seiten
Wiley-VCH (Verlag)
978-3-527-83524-9 (ISBN)

Infos

Ein unentbehrlicher Begleiter für die Grundvorlesung in Mathematik, der während des gesamten Chemiestudiums gute Dienste bei allen mathematischen Fragen und Problemen leistet.
In bewährter Weise wird auch in der 8. Auflage das notwendige mathematische Rüstzeug für das Chemiestudium in leicht verständlicher Form vermittelt.
Viele anschauliche Beispiele aus der Chemie stellen den Bezug zur fachlichen Anwendung her. Übungsaufgaben zu jedem Unterkapitel - mit Lösungen im Anhang - ermöglichen es, das erworbene Wissen selbstständig zu überprüfen.
Die 8. Auflage wurde um neue Abschnitte zu den Grundlagen der Dichtefunktionaltheorie und zum maschinellen Lernen ergänzt; Letzteres spielt eine immer
größere Rolle beim Einsatz von Expertensystemen bzw. von künstlicher Intelligenz für die Analyse und Vorhersage von chemischen Reaktionen und Strukturen.

Ansgar Jüngel ist Professor für partielle Differentialgleichungen am Institut für Analysis und Scientific Computing der Technischen Universität Wien. In seiner Lehrtätigkeit widmet er sich vor allem der Anwendung von partiellen Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften. Er ist seit 2007 federführend für das Buch 'Mathematik für Chemiker', welches von H.G. Zachmann begründet wurde und erstmals 1972 erschien.

• Fachbuch-Bestseller: Mathematik (Nr. 3/2024) — Platz 6
• Jahres-Fachbuch-Bestseller: Mathematik 2023 — Platz 1
• Fachbuch-Bestseller: Mathematik (Nr. 12/2023) — Platz 5
• Fachbuch-Bestseller: Mathematik (Nr. 11/2023) — Platz 1
• Fachbuch-Bestseller: Mathematik (Nr. 7/2023) — Platz 4
• Fachbuch-Bestseller: Mathematik (Nr. 6/2023) — Platz 1
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Inhalt

Vorwort
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Die Sprache der Mathematik
Mengenlehre
Zahlen
Einige Rechenregeln
Kombinatorik
LINEARE ALGEBRA
Matrizen
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
Determinanten
Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix
Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme
UNENDLICHE ZAHLENFOLGEN UND REIHEN
Unendliche Zahlenfolgen
Unendliche Reihen
FUNKTIONEN
Erläuterung des Funktionsbegriffs
Funktionen einer Variablen
Funktionen mehrerer Variablen
VEKTORALGEBRA
Rechnen mit Vektoren
Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen
ANALYTISCHE GEOMETRIE
Analytische Darstellung von Kurven und Flächen
Lineare Abbildungen
Koordinatentransformationen
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION EINER FUNKTION EINER VARIABLEN
Differentiation
Integration von Funktionen
Differentiation und Integration von Funktionenfolgen
Die Taylor-Formel
Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital
Kurvendiskussion
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN
Differentiation
Einfache Integrale
Bereichsintegrale
Kurvenintegrale
Oberflächenintegrale
Die Taylor-Formel
Extremwerte
VEKTORANALYSIS UND TENSORRECHNUNG
Vektoranalysis
Tensorrechnung
FOURIER-REIHEN UND FOURIER-TRANSFORMATION
Fourier-Reihen
Fourier-Transformation
Orthonormalsysteme
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Beispiele und Definitionen
Differentialgleichungen erster Ordnung
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Spezielle lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Definition und Beispiele
Die Potentialgleichung
Die Wärmeleitungsgleichung
Die Wellengleichung
Die Schrödinger-Gleichung
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER QUANTENMECHANIK
Einführung
Hilberträume
Beschränkte lineare Operatoren
Unbeschränkte lineare Operatoren
Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Einleitung
Diskrete Zufallsgrößen
Kontinuierliche Zufallsgrößen
Kette von unabhängigen Versuchen
Stochastische Prozesse
FEHLER- UND AUSGLEICHSRECHNUNG
Zufällige und systematische Fehler
Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen
Fehlerfortpflanzung
NUMERISCHE METHODEN
Lineare Gleichungssysteme
Nichtlineare Gleichungen
Eigenwertprobleme
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Computational Chemistry
ANHANG
Antworten und Lösungen zu den Aufgaben
Weiterführende Literatur

Textauszug

1
Mathematische Grundlagen

1.1 Die Sprache der Mathematik

Die Aussagen der Umgangssprache sind häufig nicht eindeutig. So wird beispielsweise das Wort „oder“ in sehr unterschiedlichem Sinne gebraucht. Im Satz „Schwimm, oder du ertrinkst“ verbindet es zwei alternative Möglichkeiten, von denen nur eine zutreffen kann. Wenn dagegen auf einem Schild in einem Büro zu lesen ist: „Wer stiehlt oder betrügt, wird entlassen“, so wird hier das Wort „oder“ nicht im Sinne des Ausschließens gebraucht; wenn jemand stiehlt und betrügt, so wird er natürlich auch entlassen.

Für die Mathematik sind derartige Unsicherheiten untragbar und müssen daher vermieden werden. Am konsequentesten lässt sich das mithilfe der Aussagenlogik erreichen. In dieser werden den grundlegenden Verknüpfungen bestimmte Symbole zugeordnet. Beispielsweise stehen das Symbol „∧“ für die Verknüpfung „und“ im Sinne von „sowohl als auch“ und das Zeichen „∨“ für die Verknüpfung „oder“ im oben als Zweites genannten Sinne. Auf diese Art erhält man eine sehr kompakte, völlig eindeutige Zeichensprache. Da aber diese Sprache nur mit erheblicher Mühe gelesen werden kann und sich nicht allgemein eingebürgert hat, soll sie im vorliegenden Buch nicht verwendet werden. Wir wollen uns vielmehr bemühen, die gewöhnliche Sprache in möglichst eindeutiger Weise zu benutzen.

Um das zu erreichen, müssen wir vor allem auf die Formulierung mathematischer Sätze eingehen. Sie wird gewöhnlich nach dem folgenden Schema vorgenommen: Man legt zunächst die Voraussetzungen dar, unter denen der Satz gilt, und gibt dann den Satz in Form einer Behauptung an. Natürlich muss die Richtigkeit der Behauptung mit einem Beweis sichergestellt werden, doch in diesem Buch verzichten wir weitestgehend auf Beweise und verweisen hierfür auf die mathematische Literatur.

Beispiel 1.1

Betrachten wir als Beispiel den Satz: Wenn a und b ungerade Zahlen sind, so ist die Summe a + b immer eine gerade Zahl. Im angegebenen Schema lautet dieser Satz wie folgt:

Von besonderem Interesse ist die Frage, ob die Umkehrung eines gegebenen Satzes, die man durch eine Vertauschung der Behauptung und Voraussetzung erhält, richtig ist. Damit dies der Fall ist, muss im ursprünglichen Satz aus dem Zutreffen der Behauptung das Zutreffen der Voraussetzung folgen. Mathematische Sätze, für die das gilt, nennt man umkehrbar. Nicht alle mathematischen Aussagen sind umkehrbar.

Beispiel 1.2

Betrachten wir als Beispiel den eben angeführten Satz:

„Wenn a und b ungerade Zahlen sind, dann ist a + b eine gerade Zahl.“

Wir sagen auch: Die Aussage „a und b sind ungerade Zahlen“ impliziert die Aussage „a + b ist eine ungerade Zahl“. Die Umkehrung würde lauten:

„Wenn a + b eine gerade Zahl ist, dann sind a und b ungerade Zahlen.“

Diese Aussage gilt nicht, da beispielsweise die Summe aus 2 und 4, nämlich 6, eine gerade Zahl ist, obwohl 2 und 4 keine ungeraden Zahlen sind. Anders liegen die Verhältnisse beim folgenden Satz:

„Wenn in einem Dreieck die Winkel gleich sind, so sind auch die Seiten gleich.“

Die Umkehrung lautet hier:

„Wenn in einem Dreieck die Seiten gleich sind, so sind auch die Winkel gleich.“

Diese Aussage ist ebenfalls richtig, sodass der Satz über die Winkel und Seiten im Dreieck umkehrbar ist.

Wenn auch die Umkehrung eines Satzes richtig ist, so nennt man dessen Voraussetzung eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Behauptung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass die Winkel in einem Dreieck gleich sind, ist hinreichend und notwendig dafür, dass auch die Seiten gleich sind.“ Kürzer kann man das auch in folgender Weise formulieren: „Die Seiten eines Dreiecks sind genau dann gleich, wenn die Winkel gleich sind.“ Ist ein Satz nicht umkehrbar, so nennt man die Voraussetzung nur eine hinreichende Bedingung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass a und b ungerade sind, ist hinreichend dafür, dass a + b gerade ist.“ (Sie ist nicht notwendig, denn auch bei geraden Zahlen a und b ist die Summe geradzahlig.) Schließlich gibt es auch Bedingungen, die nur notwendig sind.

Man sieht daraus: Aus dem zu Beginn dieses Abschnitts angegebenen Schema „Voraussetzung und Behauptung“ kann man jeweils nur entnehmen, dass die Voraussetzung hinreichend ist. Will man angeben, ob die Voraussetzung auch eine notwendige Bedingung ist, muss man den Satz ausführlicher formulieren, so wie das eben angedeutet wurde.

Beispiel 1.3

Anschließend wollen wir noch einige weitere Beispiele für die verschiedenen Arten von Bedingungen angeben. Im Satz „Wenn Eis unter Atmosphärendruck über 0 °C erhitzt wird, so schmilzt es“ ist die Bedingung „erhitzen“ notwendig und hinreichend für das Schmelzen. In der Aussage „Wenn die Sonne scheint, so ist es hell“ ist die angeführte Bedingung nur hinreichend, aber nicht notwendig, denn es kann auch hell aufgrund von künstlichem Licht sein. Im Satz „Wenn es kalt ist, schneit es“ handelt es sich demgegenüber nur um eine notwendige Bedingung; Kälte allein reicht noch nicht für den Schneefall aus, es muss auch noch zu einem Niederschlag kommen.

1.2 Mengenlehre

Was ist eine Menge? Eine Menge erhält man durch die Zusammenfassung von irgendwelchen Objekten unserer Anschauung. Die entsprechenden Objekte nennt man Elemente der Menge. Die Objekte „Haus, Katze und Schornstein“ z. B. bilden eine Menge von drei Elementen. Ebenso bilden die ganzen Zahlen oder die Gesamtheit aller chemischen Reaktionen, bei denen Sauerstoff frei wird, jeweils eine Menge. Die Elemente einer bestimmten Menge kann man entweder durch Aufzählung angeben, wie das im ersten Beispiel getan wurde, oder durch Angabe irgendwelcher Merkmale, an denen man die Zugehörigkeit eines Elements zur Menge erkennen kann, wie beim zweiten und dritten Beispiel. Bei der Aufzählung pflegt man die Elemente zwischen geschweifte Klammern zu setzen. Wenn z. B. die Menge M aus den Elementen a und b besteht, so schreibt man:

Enthält die Menge kein einziges Element, so spricht man von einer leeren Menge und bezeichnet diese mit dem Symbol ∅. Elemente einer Menge werden nur einmal aufgelistet, d. h., es gibt keine Mengen der Form {a, a, b}. Außerdem spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, d. h., die Menge {a, b} kann auch als {b, a} geschrieben werden.

Mengen von Zahlen, die bestimmten Eigenschaften genügen, schreibt man in der Form {x : x…}, wobei die Punkte die Eigenschaften angeben. So lautet beispielsweise die Menge aller Zahlen 1,2,3, …, die gerade sind, x : x ist eine gerade Zahl; diese Menge kann natürlich auch als {2,4,6, …} geschrieben werden.

Wir betrachten nun zwei Mengen M1 und M2. Unter der Vereinigung von M1 und M2 versteht man diejenige Menge, die durch Vereinigung aller Elemente aus M1 und M2 entsteht. Man bezeichnet die Vereinigung mit M1 ∪ M2. Die Elemente aus M1 ∪ M2 sind also Elemente aus M1 oder aus M2:

Der Durchschnitt von M1 und M2 wird durch diejenigen Elemente gebildet, die beiden Mengen gemeinsam angehören. Man bezeichnet ihn mit M1 ∩ M2. Es gilt also:

Die Restmenge M1 ∖ M2 (gelesen: „M1 ohne M2“) enthält alle Elemente aus der Menge M1, die nicht Element aus M2 sind:

Das kartesische Produkt der beiden Mengen wird durch alle Elemente gebildet, die man durch Zusammenfassung je eines Elements aus M1 mit einem Element aus M2 erhält. Man bezeichnet es mit M1 × M2:

Beispiel 1.4

Betrachte beispielsweise die Mengen M1 = {1,2,3} und M2 = {3,4}. Dann sind der Durchschnitt M1 ∩ M2 = {3}, die Vereinigung M1 ∪ M2 = {1,2,3,4} (beachte, dass die Elemente einer Menge nicht mehrfach aufgelistet werden), die Restmenge M1 ∖ M2 = {1,2} und das kartesische Produkt

Die Elemente der letzten Menge sind geordnete Paare, und es kommt hier auf die Reihenfolge an: Die Elemente (1,2) und (2,1) sind verschieden.

Sind alle Elemente der Menge M1 in M2 enthalten, so sagt man, dass M1 eine Teilmenge von M2 sei und schreibt M1 ⊂ M2. Besitzen zwei Mengen die gleichen Elemente, so sagt man, die Mengen seien gleich, in Zeichen M1 = M2. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl M1 ⊂ M2 als auch M2 ⊂ M1 gelten. Eine Menge heißt...

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 11.4.2023
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Naturwissenschaften ► Chemie ► Allgemeines / Lexika
• Schlagworte: Chemie • Mathematik • Mathematik u. Statistik i. d. Chemie
• ISBN-10: 3-527-83524-5 / 3527835245
• ISBN-13: 978-3-527-83524-9 / 9783527835249