Diskrete stochastische Finanzmathematik (eBook)

Rudolf Pleier (Autor)

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2023 | 1. Auflage
452 Seiten
tredition (Verlag)
978-3-347-98163-8 (ISBN)

Infos

Das Buch gibt eine leicht verständliche Einführung in die zeitdiskrete stochastische Finanzmathematik. Es wendet sich an Studierende der Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Grundstudium und dabei vor allem an Einsteiger in die stochastische Finanzmathematik, da die zeitdiskrete Finanzmathematik mathematisch wesentlich einfacher als die zeitkontinuierliche Finanzmathematik ist. Es ist zum Selbststudium geeignet. Das Mehrperiodenmodell wird dabei ohne die übliche Rückführung auf die enthaltenen Einperiodenmodelle behandelt. Der Spezialfall des Einperiodenmodells wird aber dennoch ausführlich mit seiner in der Literatur üblichen Schreibweise in den niedrigerdimensionalen Räumen beschrieben. Außerdem erfolgt eine gesonderte Betrachtung für den Spezialfall der endfälligen Zahlungen, die mit sogenannten selbstfinanzierenden Handelsstrategien dupliziert werden, in dem nur auf den Endzeitpunkt bezogenen niedrigerdimensionalen Raum. Es werden für die zentralen Begriffe Law of One Price, Vollständigkeit und Arbitragefreiheit neben den bereits bekannten auch etliche neue Charakterisierungen hergeleitet. Bei der linear-algebraischen Beschreibung können die Ergebnisse durch die Lagebeziehungen von Unterräumen und des nichtnegativen Orthanten geometrisch visualisiert werden. Bei den endfälligen Zahlungen erfolgt die Charakterisierung der Arbitragefreiheit und der Vollständigkeit allgemein für das ursprüngliche Marktmodell linear-algebraisch mittels Diskontvektoren und speziell für das dividendenlose relative Marktmodell auch noch wahrscheinlichkeitstheoretisch mittels sogenannter äquivalenter Martingalmaße. Es werden Interpretationen der Bewertung gegeben als Abstandsmessung, als Nachbildung mittels Kapitalmarktgeschäften und auf drei Arten als verallgemeinerte Barwertberechnung und dabei auch Brücken geschlagen von der Beurteilung deterministischer Zahlungsströme zur Beurteilung zustandsabhängiger Zahlungsströme.

Der Autor Dr. Dr. Rudolf Pleier ist 1948 in Etzenricht in der Oberpfalz (Bayern) geboren. In den 1970er Jahren studierte er Mathematik und Physik an der Universität Würzburg mit den Abschlüssen Diplom und Promotion. Zu seiner Existenzgründung musste er unter verschiedenen angebotenen Finanzierungen mit einer geeigneten Methode die für ihn optimale auswählen. Inspiriert durch dieses Schlüsselerlebnis befasst er sich seit vielen Jahren mit der Finanzmathematik und insbesondere mit der Bewertung von Zahlungsströmen.

Textauszug

Vorwort

Die Beurteilung einer Zahlung in der Zukunft oder einer aus mehreren Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten bestehenden Zahlungsfolge (eines Zahlungsstroms) und der Vergleich von alternativen Zahlungsströmen ist ein zentrales Thema der Finanzmathematik. In der Praxis sind zukünftige Zahlungen meist noch unsicher und eventuell auch gar nicht genau bekannt. Im Gegensatz zur klassischen (deterministischen) Finanzmathematik mit ihren Themen Abschreibung, Zins-, Renten-, Tilgungs-, Kurs- und Rendite-, Effektivzins- und Investitionsrechnung erfasst die moderne stochastische Finanzmathematik auch die Zufallsabhängigkeit der Zahlungsströme mit deren Beschreibung als stochastische Prozesse.

Da im Zeitraum zwischen einer Produktionsentscheidung und der Fertigstellung bzw. der Verteilung der Waren unvorhergesehene Umstände eintreten und insbesondere die Preise sich ändern können, sind Landwirte, Hersteller und Händler gewissen Risiken ausgesetzt. Es wurden daher als spezielle Finanzinstrumente verschiedene Derivate entwickelt zur Sicherstellung der Versorgung mit Rohstoffen und Waren, zur Erleichterung des Handels, zur Absicherung gegen Risiken, aber auch als Finanzierungsquelle und zur Spekulation auf Gewinn.

Der in einem Derivat1 (derivativen Finanzinstrument, einer Finanzinnovation) vertraglich festgelegte zustandsabhängige Zahlungsanspruch (Zahlungsprofil, englisch: claim, contingent claim für „bedingte Forderung“, spezieller derivative asset) wird aus einem oder mehreren zukünftigen Ereignissen bzw. spezieller von anderen zugrunde gelegten Finanzprodukten (Basiswert, Basisobjekt, englisch: underlying) abgeleitet. Basiswerte können dabei verschiedene Vermögenswerte sein wie beispielsweise Rohstoffe (Getreide, Gold, Öl, Gas usw.), Handelswaren, Wertpapiere (Anleihen, Aktien), Devisen (Währungen, Wechselkurse), Indizes (Aktienindizes wie der S&P 500, Dax, Dow Jones usw.), Zinssätze, das Wetter und auch andere Derivate. Ein Derivat als bedingtes Termingeschäft bzw. Option gibt dem Inhaber das Recht (aber nicht die Verpflichtung), zu einem bei Vertragsabschluss vereinbarten Preis einen Basiswert zu einem zukünftigen Zeitpunkt oder innerhalb eines zukünftigen Zeitraums zu kaufen (Kauf- oder Call-Option) oder zu verkaufen (Verkaufs- oder Put-Option). Ein Derivat als unbedingtes Termingeschäft (Forward und Future) gibt dem Inhaber die Verpflichtung, zu einem bei Vertragsabschluss festgelegten Preis einen Basiswert zu einem zukünftigen Zeitpunkt zu kaufen oder zu verkaufen. Ebenfalls ein unbedingtes Termingeschäft ist ein Swap, bei dem ganze Zahlungsströme getauscht werden. Derivate werden unterschiedlich an der Börse oder außerbörslich (Over-the-Counter, OTC) gehandelt.

Aufzeichnungen über Derivate gibt es schon aus der Zeit vor zirka 4000 Jahren. Nachfolgend werden einige Beispiele zur Geschichte der Derivate2 angeführt. So wird im 48. Gesetz von insgesamt 282 Gesetzen des Codex von Hammurapi3 Folgendes geregelt: „Ein Landwirt, der auf seinem Grundstück eine Hypothek hat, ist im Falle einer Missernte von der jährlichen Zinszahlung befreit.“ Nach Whaley (2006) ist dies eine der ersten Beschreibungen eines Derivats, das als eine All-or-Nothing-Put-Option interpretiert werden kann. Außerdem wurden Handelsverträge der Kaufleute in Keilschrift auf Tontafeln schriftlich fixiert, darunter auch Vereinbarungen über die zukünftige Lieferung von Getreide oder anderen Waren. So steht auf einer Tontafel aus dem Jahr 1809 v. Chr., dass der Kaufmann Abuwaqar vom Händler Blanumamhe sechs Schekel Silber leiht und diese Schuld nach sechs Monaten mit Sesamsamen zum aktuellen Kurs zurückzahlt. Es wird hierbei also ein Silberdarlehen mit einem Terminverkauf von Sesamsamen verknüpft.

Über ein vom griechischen Philosophen, Mathematiker und Astronomen Thales von Milet (ca. 624 – ca. 544 v. Chr.) verwendetes Derivat erzählt der griechische Philosoph und Universalgelehrte Aristoteles (384–322 v. Chr.) in seiner Abhandlung „Politika“ (ca. 335 v. Chr.). Thales strebte zwar als Philosoph nicht nach Reichtum, wollte aber dennoch zeigen, dass es Philosophen leicht falle reich zu werden. Er sah aufgrund seiner metereologischen Beobachtungen eine große Olivenernte voraus und vereinbarte daher mit den Besitzern von Olivenpressen in Milet und Chios, die Pressen zur Erntezeit für eine geringe Gebühr zu mieten. Als zur Erntezeit tatsächlich ein großer Bedarf an Pressen auftrat, hat Thales sein Nutzungsrecht mit einem Aufschlag weiterverkauft und dabei einen großen Gewinn erzielt. Nach Whaley (2006) hat Thales eine Call-Option erworben und diese dann zum Zeitpunkt der Ernte wieder verkauft.

Zur Erleichterung des Handels wurden auch im Mittelalter Derivate eingesetzt. Schon ab dem 10. Jahrhundert schlossen italienische Kaufleute sogenannte Commendas ab. Diese sind kommerziale Partnerschaftsverträge für Land- und Seeunternehmen, bei denen der eine Partner das Geld bereitstellte und der andere Partner die Handelsmission durchführte, die also insgesamt Warentermingeschäfte darstellten. Ein weiteres Beispiel sind die Monti-Aktien von italienischen Stadtstaaten für die Beteiligung an künftigen Staatseinnahmen. Diese konnten gehandelt werden und dienten auch als Zahlungsmittel für Waren und Dienstleistungen. Außerdem wurde ab 1207 in Palermo der sogenannte Wechsel als Tauschmittel im Fernhandel verwendet, bei dem vereinbart wird, einen bestimmten Geldbetrag in einer anderen Währung an einem anderen Ort und zu einem späteren Zeitpunkt zu zahlen.

Nach dem Umzug der Amsterdamer Börse in den neu geschaffenen Börsenkomplex im Jahr 1611 wurden hier neben Derivaten auf Waren das erste Mal auch Derivate auf Wertpapiere wie Anleihen und Aktien gehandelt. In den Jahren 1636–1637 kam es beim Handel mit Termin- und Optionskontrakten auf Tulpenzwiebel in Holland zur ersten dokumentierten Spekulationsblase, der sogenannten Tulpenmanie. Im Jahr 1697 wurde der erste Future-Handel auf der Dojima-Reisbörse auf der Flussinsel Dojima in der japanischen Stadt Osaka eingeführt. Im Jahr 1728 wurde der erste bekannte Optionsschein in Verbindung mit einer Optionsanleihe herausgegeben, und zwar von der Kaiserlichen Ostindischen Kompanie in den Österreichischen Niederlanden. Der erste deutsche Optionsschein wurde im Jahr 1925 von der Karstadt AG zusammen mit einer Optionsanleihe ausgegeben, die aber nicht in Deutschland, sondern nur in New York gehandelt wurde. Der erste in Deutschland gehandelte Optionsschein wurde dann im Jahr 1926 durch die Vereinigten Stahlwerke AG Düsseldorf herausgegeben.

In den USA wurde an der Chicago Board of Trade (CBOT) im Jahr 1851 der erste Zeitvertrag (englisch time contract) für die zukünftige Lieferung von Mais gehandelt. Die 1865 eingeführten Regeln begründeten dann den Handel mit Futures. Neben Futures auf landwirtschaftliche Produkte wurden Futures auch auf weitere Basiswerte eingeführt. So wurden an der Chicago Mercantile Exchange (CME) im Jahr 1972 erste Futures auf Währungen, an der CBOT im Jahr 1975 erste Futures auf Zinssätze, an der CME im Jahr 1982 erste Futures auf Aktienindizes und im Jahr 1999 erste Futures auf das Wetter gehandelt. Als erste elektronische Handelsplattform für Termingeschäfte wurde im Jahr 1992 von CME die Software CME Globex Trading System eingeführt.

Als Begründer der modernen stochastischen Finanzmathematik gelten der französische Mathematiker Louis Bachelier (1870–1946; Dissertation 1900), der US-amerikanische Wirtschaftswissenschaftler Paul A. Samuelson (1915–2009, Nobelpreis 1970), der US-amerikanische Physiker, Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler Fischer S. Black (1938– 1995), der kanadische Wirtschaftswissenschaftler Myron S. Scholes (*1941, Nobelpreis 1997) und der US-amerikanische Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler Robert C. Merton (*1944, Nobelpreis 1997).4 Die Literatur zur stochastischen Finanzmathematik befasst sich mit der Bewertung (Preisfindung) und der Risikoabsicherung (Hedging) eines Zahlungsanspruchs, den man durch den Erwerb eines Derivats erhält. In der Literatur wird zur Einführung als elementares Beispiel eines Derivats meist eine sogenannte europäische Call-Option5 angegeben, die dem Optionshalter das Recht verbrieft, ein bestimmtes Wertpapier (das underlying, z. B. eine Aktie) zu einem bestimmten Fälligkeitszeitpunkt (Ausübungszeitpunkt, Maturität, englisch: maturity, maturity date) T und zu einem heute schon festgelegten Preis (Ausübungs-, Basis- oder Strikepreis, englisch: exercise price, strike price, strike) K zu kaufen. Die Preisbestimmung für eine europäische Call-Option auf eine Aktie war geschichtlich gesehen das Ausgangsproblem der modernen Finanzmathematik Anfang der 1970er Jahre. In der Praxis werden sowohl die zeitdiskreten Marktmodelle als Einperioden- und Mehrperiodenmodell als auch die zeitkontinuierlichen (zeitstetigen) Marktmodelle angewandt.

Im vorliegenden Buch soll eine Einführung in die Bewertung stochastischer (zustandsoder zufallsabhängiger, unsicherer) diskreter6 Zahlungsströme gegeben werden. Die Bewertung erfolgt unter der Verwendung eines Marktmodells, mit dem der reale Kapitalmarkt durch eine mathematische Formulierung vereinfachend und näherungsweise...

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 3.7.2023
• Verlagsort: Ahrensburg
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Beruf / Finanzen / Recht / Wirtschaft ► Bewerbung / Karriere
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Beruf / Finanzen / Recht / Wirtschaft ► Geld / Bank / Börse
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Wirtschaft
• Schlagworte: Arbitragefreiheit des Marktmodells • Bewertung von stochastischen Zahlungsströmen • Brücken von der Bewertung deterministischer Zahlungsströme zur Bewertung stochastischer Zahlungsströme • Duplikationsprinzip von Black • Duplizierbarkeit von Zahlungsprofilen • Interpretationen der Bewertung von Zahlungsströmen • Law of one Price • Scholes und Merton • Vollständigkeit des Marktmodells
• ISBN-10: 3-347-98163-4 / 3347981634
• ISBN-13: 978-3-347-98163-8 / 9783347981638