Mathematik in den Ingenieur- und Naturwissenschaften 1 (eBook)

Lineare Algebra und analytische Geometrie, Differential- und Integralrechnung einer Variablen

Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle, Kai Rothe, Thomas Sonar (Autoren)

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2020 | 5. Auflage
Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
978-3-527-82289-8 (ISBN)

Infos

Für alle, die es genauer wissen wollen: Band 1 der Neuauflage des unschlagbar präzisen Ansorge/Oberle-Lehrwerks zur Mathematik in den Ingenieur- und Naturwissenschaften

In sämtlichen Ingenieurwissenschaften, insbesondere im Maschinenbau, im Bauingenieurwesen und in der Elektrotechnik, ist Mathematik unverzichtbar bei der Beschreibung, Modellierung und Lösung ingenieurwissenschaftlicher Probleme. Für Studierende dieser Fächer ist es daher unabdingbar, sich detailliert mit der Mathematik auseinanderzusetzen und Wissen zu erwerben, das über die reine Anwendung von 'Kochrezepten' hinausgeht.
Der vorliegende Band 1 des vollständig überarbeiteten und erweiterten Lehrwerks 'Mathematik in den Ingenieur- und Naturwissenschaften' gibt eine Einführung in die Lineare Algebra und analytische Geometrie sowie die Differential- und Integralrechnung einer Variablen. Bei den Herleitungen wird besonderer Wert gelegt auf Vollständigkeit und mathematische Exaktheit. In den Beispielen behandeln die Autoren die Anwendung mathematischer Techniken und Vorgehensweisen auf häufig vorkommende Probleme in den Ingenieurwissenschaften. Numerische Methoden und deren Implementierung in MATLAB runden das Buch ab.

* Zum Tiefereinsteigen: besonders geeignet für diejenigen, die eine anspruchsvolle Darstellung der höheren Mathematik in den Ingenieur- und Naturwissenschaften suchen
* Bewährtes Konzept, überarbeitet und erweitert: präzise, sauber, fachlich korrekt und anwendungsnah
* Neu in dieser Auflage: mit mehr Motivationen und Erläuterungen und zahlreichen neuen Anwendungsbeispielen und Modellbildungen
* Dazu passend: das neue Aufgaben- und Lösungsbuch

Autor

Rainer Ansorge lehrte Mathematik an den Universitäten Clausthal und Hamburg und ist einer der Gründer der TU Hamburg-Harburg. Seine langjährige Erfahrung in der Ausbildung von Studierenden der Ingenieurwissenschaften floss in dieses Lehrwerk ein. Hans Joachim Oberle ist emeritierter Professor für Mathematik an der Universität Hamburg. Er forschte auf dem Bereich der Simulation und Optimierung technischer Systeme und verfügt daher über umfassende Erfahrungen der Anwendungen von Mathematik auf Ingenieursprobleme. Kai Rothe forscht und lehrt im Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg zur numerischen linearen Algebra, Eigenwertaufgaben, Finite-Element-Methoden und parallelen Algorithmen. Thomas Sonar ist Professor am Institut Computational Mathematics an der TU Braunschweig und regelmäßiger Lehrbeauftragter für Mathematik für Studierende Ingenieurswissenschaften an der Universität Hamburg.

Inhalt

Aussagen, Mengen und Funktionen
Zahlbereiche
Vektorrechnung, analytische Geometrie
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen
Lineare Ausgleichsprobleme, lineare Programme
Eigenwerttheorie für Matrizen
Konvergenz von Folgen und Reihen
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Weiterer Ausbau der Differentialrechnung
Potenzreihen und elementare Funktionen
Interpolation
Integration
Anwendungen der Integralrechnung
Numerische Quadratur
Periodische Funktionen, Fourier-Reihen

Rezensionen

"Die Lehrbücher liefern eine anspruchsvolle Darstellung der höheren Mathematik für Studenten der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Die 5. Auflage bietet noch mehr Erläuterungen sowie zahlreiche neue Anwendungsbeispiele."
METALL, 26.05.2020

Textauszug

1
Aussagen, Mengen und Funktionen

In diesem und dem folgenden einführenden Abschnitt sollen einige Grundregeln der mathematischen Sprech- und Ausdrucksweise vereinbart werden. Hierzu werden die wichtigsten Begriffe über Aussagen, Mengen und Funktionen sowie später über die Zahlenbereiche zusammengestellt. Den Studierenden sollte der Stoff dieser Abschnitte im Wesentlichen von der Schule bekannt sein (mit Ausnahme vielleicht der komplexen Zahlen). Das Augenmerk sollte also hierbei eher auf dem Einüben der Notation liegen.

1.1 Aussagen

Aussagen sind Sätze, die wahr oder falsch sind. Vom Standpunkt der Aussagenlogik, aber auch für das formale Umformen von Aussagen ist nicht der Inhalt einer Aussage von Interesse, sondern ihr Wahrheitswert. Ist A eine Aussage, so legen wir fest:

(1.1)

w(A) bezeichnet dabei den Wahrheitswert der Aussage A; das Symbol :⇔ bezeichnet die definierende Äquivalenz, sprachlich: „… wird definiert durch …“. Wir gehen davon aus, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, lat. „tertium non datur“) und dass jede (sinnvolle) Aussage entweder wahr oder falsch ist.

Sind A und B Aussagen, so werden die folgenden Verknüpfungen dieser Aussagen betrachtet:

Definiert werden diese „neuen“ Aussagen durch Festlegung ihrer Wahrheitswerte (in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen A und B):

Tafel (1.1): Wahrheitswertetafel.

w(A)

w(B)

w(¬A)

w(A ∧ B)

w(A ∨ B)

w(A ⇒ B)

w(A ⇔ B)

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Man beachte:

1. i) A ∨ B ist auch wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. ∨ beschreibt also das „nicht ausschließende oder“ im Gegensatz zum „entweder … oder“.
2. ii) Eine Implikation A ⇒ B ist immer wahr, wenn die Prämisse (das ist die Aussage A) falsch ist.

Mit Hilfe dieser Verknüpfungen lassen sich nun formal weitere Aussagen bilden, wie etwa:

(1.2)

Nun gilt: Die Aussage (1.2) ist immer, d. h. unabhängig von den Aussagen A und B, wahr. Solche Aussagen heißen Tautologien. Wir überprüfen diese Eigenschaft anhand der zugehörigen Wahrheitswertetafel:

Tafel (1.2): Wahrheitswertetafel zu (1.2).

A

B

A ⇒ B

¬A

¬B

(¬B) ⇒ (¬A)

(1.2)

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Tautologien lassen sich dazu benutzen, mathematische Aussagen in andere, äquivalente Aussagen umzuwandeln.

Liste häufig verwendeter Tautologien (1.3)

(1)

A ∨ ¬A

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

(2)

¬(A ∧ ¬A)

Satz vom Widerspruch

(3)

¬¬A ⇔ A

doppelte Verneinung

(4)

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A)∨(¬B)

Regel von de Morgan1)

(5)

¬(A ∨ B) ⇔ (¬A)∧(¬B)

Regel von de Morgan

(6)

(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

Kontraposition

(7)

(A ⇒ B)∧ A ⇒ B

modus ponens

(8)

(A ⇒ B)∧ ¬B ⇒ ¬A

modus tollens

(9)

(A ⇒ B)∧(B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)

modus barbara

(10)

A ∧(B ∨ C) ⇔ (A ∧ B)∨(A ∧ C)

Distributivgesetz

(11)

A ∨(B ∧ C) ⇔ (A ∨ B)∧(A ∨ C)

Distributivgesetz

Beispiel (1.4)

Zum Nachweis, dass die beiden Regeln von de Morgan (4) und (5) Tautologien sind, stellen wir die zugehörige Wahrheitswertetafel auf.

A

B

¬A

¬B

(¬A)∧(¬B)

A ∨ B

¬(A ∨ B)

A ∧ B

¬(A ∧ B)

(¬A)∨(¬B)

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Aussageformen sind Aussagen, die von Variablen abhängen. So ist z. B.

eine (zweistellige) Aussageform in den Variablen x, y. Eine Aussageform selbst hat keinen Wahrheitswert. Erst wenn man für die Variablen konkrete Objekte (hier etwa reelle Zahlen) einsetzt, erhält man eine Aussage, die dann wahr oder falsch ist. Für obiges Beispiel ist etwa eine wahre und A(−3, 2) eine falsche Aussage.

Für eine einstellige Aussageform A(x) werden die folgenden Aussagen definiert:

Die Symbole ∀, ∃ und ∃1 heißen Quantoren. Wichtig sind auch die Verneinungen der Quantoren:

Die allgemeine Form eines mathematischen Satzes ist die Implikation A ⇒ B.

Dabei heißt A die Voraussetzung (Prämisse), B die Behauptung (Konklusion). Man sagt dann auch: B ist eine notwendige Bedingung für A und A ist eine hinreichende Bedingung für B.

Für den Beweis eines mathematischen Satzes A ⇒ B wird in der Regel ein sogenannter Kettenschluss durchgeführt:

Eine Begründung hierzu liefert die Tautologie (9) in Liste 1.3. Die einzelnen Schlüsse sind dabei einsichtig, sie sind z. B. bereits früher bewiesen worden oder sie folgen unmittelbar aus Axiomen. Diese Form des Beweises heißt direkter Beweis.

Beim sogenannten indirekten Beweis benutzt man die Kontraposition bzw. den modus tollens. Anstelle von A ⇒ B beweist man ¬B ⇒ ¬A oder: wenn die Behauptung B nicht gilt, so ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung A.

Wir betrachten zwei einfache Beispiele für diese Beweisformen:

Satz (1.5)

Für eine natürliche Zahl n gilt: n gerade ⇔ n2 gerade.

Beweis.

Wir beweisen die Äquivalenz, indem wir die beiden Implikationen

einzeln nachweisen.

⇒: (direkter Beweis)

⇐: (indirekter Beweis)

■

Wir betrachten ein zweites Beispiel für einen indirekten Beweis. Die äußere Form des Satzes ist dabei etwas anders, da keine Voraussetzung explizit genannt wird. Tatsächlich bilden jedoch die (üblichen) Rechenregeln für natürliche bzw. rationale Zahlen hier die Voraussetzungen.

Wir schließen aus

die Regel

Nach der Regel von de Morgan (siehe Liste 1.3 (5)) ist die rechte Seite äquivalent zu

womit wir

(1.3)

gezeigt haben. Damit können wir nun den folgenden Satz beweisen, wobei wir wie folgt vorgehen werden. Wir wollen zeigen: ist keine rationale Zahl (A ⇒ B), zeigen dazu aber, dass A ∧ ¬B nicht gilt, also muss A...

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 14.4.2020
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Schlagworte: Analytische Geometrie • Chemie • Elektrotechnik u. Elektronik • Lineare Algebra • Maschinenbau • Maschinenbau - Entwurf • Mathematik • Mathematik in den Ingenieurwissenschaften • Numerische Methoden u. Algorithmen • Physik
• ISBN-10: 3-527-82289-5 / 3527822895
• ISBN-13: 978-3-527-82289-8 / 9783527822898