Analytische Eigenschaften des Hindernisproblems. Die Penalty-Methode und die duale Formulierung

Julia Flach (Autor)

Buch | Softcover

60 Seiten

2016 | 2. Aufl.
GRIN Verlag
978-3-668-25043-7 (ISBN)

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Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg (Mathematische Fakultät), Sprache: Deutsch, Abstract: Das Hindernisproblem ist ein typisches und anschauliches Minimierungsproblem, bei dem versucht wird, die Energie des Dirichletfunktionals zu minimieren.Lösungsfunktionen werden dabei als schwache Lösungen aus einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum interpretiert, was vor allem Beweistechniken aus der linearen sowie der nichtlinearen Funktionalanalysis erfordert. Die Existenz eines Minimierers haben wir mit Hilfe der Direkten Methode der Variationsrechnung bewiesen. Aufgrund der zusätzlichen Voraussetzung der strikten Konvexität des Energiefunktionals konnten wir die Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen.Eine notwendige und hinreichende Bedingung an den eindeutig bestimmten Minimierer des Funktionals lieferte die Variationsungleichung, welche im weiteren Verlauf der Arbeit immer wieder Anwendung fand. Tiefer gehende Resultate über Differentiation in Banachräumen, der Betrachtung des Subdifferentials sowie der äußerst nützlichen Definition einer Indikatorfunktion erlaubte, ein unrestringiertes Funktional zu betrachten und dadurch eine Formulierung mit einem Lagrange-Multiplikator herzuleiten. Besonders die Definition und Unterscheidung des Gebietes in Kontaktzone und deren Komplement brachten uns grundlegende Resultate bezüglich des Lagrange-Multiplikators.Anschließend haben wir die Regularität der schwachen Lösung thematisiert. Dabei konnten wir feststellen, dass Lösungsfunktionen im Eindimensionalen höheren Regularitsanforderungen genügen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an das zugrunde liegende Gebiet gilt dieses Ergebnis auch in höherdimensionalen Situationen. Beachtenswert war ein einfaches Beispiel, welches verdeutlichte, dass die Forderung u H3( ) im Allgemeinen nicht gültig ist.Etwas abstrakter wurde die duale Formulierung des Hindernisproblems diskutiert. Eine große Rolle wurde hier den Fenchel-konjugierten Funktionalen zugewiesen. Deren Definition erlaubte, das anfängliche Minimierungsproblem als formales, duales Maximierungsproblem zu betrachten und schlussendlich die starke Dualität herzuleiten.

Erscheinungsdatum	04.07.2016
Reihe/Serie	Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen
Sprache	deutsch
Maße	148 x 210 mm
Gewicht	100 g
Themenwelt	Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Allgemeines / Lexika
Schlagworte	Analytische • Eigenschaften • Formulierung • hindernisproblems • Mathematik • Nachschlagewerke • pentalty-methode
ISBN-10	3-668-25043-X / 366825043X
ISBN-13	978-3-668-25043-7 / 9783668250437
Zustand	Neuware