Jetzt lerne ich Mathematik für die Oberstufe (eBook)

Schnellkurs zur Abiturvorbereitung: Analysis, analytische Geometrie und Stochastik - www.mathe-total.de

Marco Schuchmann (Autor)

eBook Download: EPUB

2014 | 3. Auflage
204 Seiten
Books on Demand (Verlag)
978-3-7357-7279-4 (ISBN)

Infos

In diesem Buch werden die drei großen Themengebiete der Mathematik in der Oberstufe, die Analysis, die analytische Geometrie bzw. lineare Algebra und die Stochastik zusammengefasst. Dabei wird alles mit vielen Beispielen und Abbildungen erklärt. Die Beschreibungen orientieren sich an den Aufgaben- und Problemstellungen, wie sie in der Oberstufe an Gymnasien als auch an Fachoberschulen behandelt werden. Das Buch kann auch zur Abiturvorbereitung verwendet werden oder zum selbstständigen Aufarbeiten des Stoffes der Oberstufe beispielsweise vor einem Studium. Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Die Grafiken und auch die meisten hier beschriebenen Methoden können mit der Seite www.alles-mathe.de erstellt bzw. angewendet werden, um beispielsweise eigene Lösungen von Aufgaben zu überprüfen oder auch mal um eine Wertetabelle zu erstellen. Weitere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen zum Buch sind auf der Seite www.mathe-total.de zu finden. Da dieses Buch drei Bücher von mir zu den einzelnen Themengebieten umfasst, besteht es aus drei Teilen. Begonnen wird im ersten Teil mit der Analysis, gefolgt von der analytischen Geometrie im zweiten Teil und der letzte dritte Teil befasst sich mit der Stochastik. In der aktuellen Auflage wurden Links zu Übungsaufgaben mit Lösungen und Erklärungen ergänzt.

Dr. rer. nat. Marco Schuchmann hat in Darmstadt Mathematik studiert und hat über 25 Jahre Erfahrung in der Lehre. Er ist Koautor und Autor von mehr als 20 Fachbüchern und hat in internationalen Fachzeitschriften veröffentlicht sowie die Internetplattform www.mathe-total.de entwickelt.

Textauszug

6.5 Kurvendiskussion

Zu einer Kurvendiskussion oder Funktionsuntersuchung gehören folgende Punkte

I)	Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

II)

Symmetrie

III)	Grenzwertverhalten

IV)

Extrema

V)	Wendepunkte

VI)	Funktionsgraf zeichnen

Je nachdem welcher Funktionstyp diskutiert wird, können auch weitere Punkte hinzukommen, wie Definitionsbereich bestimmen, Polstellen und Asymptoten bestimmen. Man könnte die Liste auch um Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten erweitern, wobei diese Eigenschaften, wie bereits beschrieben, auf der Basis der Extrema und den Wendepunkten bestimmt werden können.

Auf verschiedene Punkte sind wir schon in den vorangegangnen Kapiteln eingegangen, wir müssen nur noch mal auf die Punkte II und III eingehen.

Was die Symmetrie betrifft, so werden im Rahmen einer Kurvendiskussion in der Oberstufe zwei Arten von Symmetrien überprüft. Die eine ist die Achsensymmetrie zur y-Achse und die andere die Punktsymmetrie zum Ursprung (bzw. Origo).

Der Graf einer Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn

f(x) = f(-x) für alle x ∈ D

gilt. Der Graf einer Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn

f(x) = -f(-x) für alle x ∈ D

gilt. Dabei muss natürlich mit x auch -x in D liegen!

Bei ganzrationalen Funktionen n-ten Grades

kann man diese Eigenschaften schnell überprüfen. Da (-x)2 = x2, (-x)4 = x4, …, gilt, ist der Graf einer ganzrationale Funktion, die nur aus Potenzfunktionen mit geradem Exponenten besteht (d.h. a1 = 0, a3 = 0, …, an-= 0, n gerade), achsensymmetrisch zur y-Achse. Da 1 (-x)3 = -x3, (-x)5 = x5, …, gilt, ist eine der Graf einer ganzrationalen Funktion, die nur aus Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten besteht (d.h. a0 = 0, a2 = 0, …, an-1 = 0, n ungerade), punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele:

1) Der Graf von f(x) = x3 – 4x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn es kommen nur ungerade Exponenten vor.

Beweis: -f(-x) = -((-x)3 – 4(-x)) = -(-x3 + 4x) = x3 – 4x = f(x)

2) Der Graf von f(x) = x4 + 3x2 + 1 ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn es kommen nur gerade Exponenten vor.

Beweis: f(-x) = (-x)4 + 3(-x)2 + 1 = x4 + 3x2 + 1 = f(x)

Würden bei einer ganzrationalen Funktion gerade und ungerade Exponenten (natürlich bei x bzw. bei der unabhängigen Variablen) auftreten, dann kann man nicht sagen, dass keine Symmetrie vorliegt. Der Graf könnte wie f(x) = x2 + 2x + 2 immer noch eine andere Symmetrieachse als die y-Achse besitzen (hier x = -1), oder wie f(x) = x3 + 5 eine Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung (hier P(0; 5)).

Setzt sich die Funktion aus dem Produkt oder dem Quotient von Funktionen u und v zusammen, so liegt eine unserer gesuchten Symmetrien vor, wenn beide Funktionen eine solche Symmetrie aufweisen. Man kann zeigen, dass der Graf von f(x) = u(x) ∙ v(x) (dies gilt auch für den von f(x) = u(x)/v(x)) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn entweder die beiden Grafen der Funktionen u und v achsensymmetrisch zur y-Achse oder wenn beide Grafen punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Analog liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor, wenn der Graf von u punktsymmetrisch zum Ursprung und der von v achsensymmetrisch zur y-Achse ist, oder vice versa.

Beispiele:

1) Der Graf von ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn der Graf von u(x) = x ist punktsymmetrisch zum Ursprung und der von v(x) = x2 + 1 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bzw. direkt:

2) Der Graf von f(x) = x ∙ sin(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn die Grafen von u(x) = x und von v(x) = sin(x) sind punksymmetrisch zum Ursprung. Oder direkt gezeigt: f(-x) = -x ∙ sin(-x) = -x ∙ (-sin(x)) = x ∙ sin(x) = f(x), da sin(-x) = -sin(x) gilt.

Kommen wir noch zum Grenzwertverhalten. Bei ganzrationalen Funktionen

ist hier immer der Term anxn für das Grenzwertverhalten „verantwortlich“.

Hier gibt es vier Fälle:

Ist n gerade und an > 0, so ist

wie bei f(x) = 2x2 + 4x.

Ist n gerade und an < 0, so ist

wie bei f(x) = -2x4 + x3 + 4.

Ist n ungerade und an > 0, so ist

wie bei f(x) = x3 + 4x.

Ist n ungerade und an < 0, so ist

wie bei f(x) = -4x3 + 2x2 + 5x.

Bei einer gebrochenrationalen Funktion stimmt das Grenzwertverhalten der Funktion mit dem der Asymptote überein, wie bei

wo

gilt und die Funktion a(x) = 0 Asymptote ist.

Bei Funktionen vom Typ f(x) = eax (mit a ≠ 0) ist das Grenzwertverhalten vom Vorzeichen der Zahl a abhängig. Für f(x) = e2x gilt

und für f(x) = e-2x gilt

Kommen wir nun noch zu zwei Beispielen für Kurvendiskussionen.

Beispiel 1:

Wir beginnen mit einer Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = x3 – 3x2.

I) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Mit der y-Achse: f(0) = 0, also Sy(0;0) ist Schnittpunkt mit y-Achse.

Mit der x-Achse: Hier müssen wir die Nullstellen bestimmen:

Somit haben wir eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und eine einfache Nullstelle bei x = 3: Die Nullstellen lauten x1 = 0, x2 = 0 und x3 = 3.

Bei einer doppelten Nullstelle liegt eine Extremstelle vor (ebenso wie bei einer 4-fachen, 6-fachen, …, während bei einer 3-fachen, 5-fachen, …, Nullstelle ein Sattelpunkt an dieser Stelle auf der x-Achse vorhanden ist).

II) Symmetrie:

Die Funktion ist weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung („es kommen gerade und ungerade Exponenten vor“).

Nachweis:

f(-x) = (-x)3 – 3(-x)2 = -x3 – 3x2 ist weder gleich f(x) noch –f(x).

III) Grenzwertverhalten:

Der Grad n = 3 ist ungerade und a3 = 1 > 0, somit ist

IV) Extrema:

Wir bestimmen zunächst drei Ableitungen (die dritte Ableitung wir auf jeden Fall noch beim Punkt V benötigt):

f´(x) = 3x2- 6x

f´´(x) = 6x - 6

f´´´(x) = 6

Wir setzen die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung):

Somit haben wir zwei Stellen mit waagrechter Tangente gefunden: x1 = 0 und x2 = 2. Der Einfachheit halber wurden die Extremstellen analog zu den Nullstellen mit x1 und x2 bezeichnet. Dies sind nur die Bezeichnung innerhalb es Punktes IV, ansonsten müsste man diese z.B. mit xE1 und xE2 bezeichnen, oder die Nummerierung fortführen.

Diese setzen wir in die zweite Ableitung ein:

f´´(x1) = f´´(0) = -6 < 0, somit ist E1(x1;f(x1)) ein HP.
f´´(x2) = f´´(2) = 6 > 0, somit ist E2(x2;f(x2)) ein TP.

Wir bestimmen noch die Funktionswerte durch Einsetzen von x1 und x2 in die Funktion f und erhalten: E1(0; 0) und E2(2; -4).

V) Wendepunkte:

Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung):

Also ist x1 = 1. Nun setzen wir x1 in die dritte Ableitung ein:

somit liegt hier ein WP vor.

Nun bestimmen wir noch den Funktionswert:

y1 = f(1) = 1 - 3 = -2, somit ist W(1; -2) ein WP.

VI) Funktionsgraf zeichnen:

Beispiel 2:

Es soll eine Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = (2x + 2)e-x durchgeführt werden (dieser Typ von Funktion wird oft erst in der 12. Klasse behandelt).

I) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Mit der y-Achse: f(0) = 2, also Sy(0;2) ist Schnittpunkt mit y-Achse.

Mit der x-Achse: Hier müssen wir wieder die Nullstellen bestimmen. Da ein Produkt Null ist, wenn ein Faktor Null ist, suchen wir nur die Lösung der Gleichung

2x + 2 = 0 ,

da e-x = 0 keine Lösung hat. Damit ist x = -1 eine Nullstellen.

II) Symmetrie:

Ein Produkt aus zwei Funktionen weist nur dann eine Symmetrie auf, wenn die beiden Faktoren Symmetrien aufweisen. Weder der Graf von u(x) = 2x + 2 noch v(x) = e-x haben einen zur y-Achse symmetrischen Graf und auch keinen zum Ursprung punktsymmetrischen.

Nachweis:

f(-x) = (-2x + 2)ex ist weder gleich f(x) noch -f(x).

Beispiele: https://mathe-total.de/new15/Symmetrie.pdf

III) Grenzwertverhalten:

denn für x → ∞ geht e-x gegen Null und somit würde auch xn ∙ e-x gegen Null gehen, da eine Exponentialfunktion „stärker als jede Potenzfunktion wächst“. Dies gilt hier im Fall des Produktes aus Exponentialfunktion und Potenzfunktion oder Polynom, denn allgemein kann so nicht argumentiert werden (wenn ein Faktor gegen unendlich geht).

denn e-x geht für x → -∞ gegen ∞ und 2x + 2 geht gegen -∞, womit das Produkt gegen -∞ geht.

Beispiele: https://mathe-total.de/Buecher/mathe-total-pdfs/Grenzwerte-Beispiele.pdf

IV) Extrema:

Wir bestimmen zunächst drei Ableitungen (die dritte Ableitung wird auf jeden Fall noch beim Punkt V benötigt):

Für die Ableitungen wird die Produktregel (und für v´ die Kettenregel) benötigt:

Analog werden die nächsten Ableitungen...

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 6.3.2014
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Beruf / Finanzen / Recht / Wirtschaft ► Bewerbung / Karriere
• Themenwelt: Schulbuch / Wörterbuch ► Lernhilfen ► Sekundarstufe II
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Schlagworte: Abiturvorbereitung • Analysis • Analytische Geometrie • Stochastik • Übungsaufgaben
• ISBN-10: 3-7357-7279-X / 373577279X
• ISBN-13: 978-3-7357-7279-4 / 9783735772794