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Analysis II

Herbert Amann, Joachim Escher (Autoren)

Buch | Hardcover

1999
Springer Basel (Verlag)
978-3-7643-6134-1 (ISBN)

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keine Neuauflage

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Wie schon der erste, enthait auch dieser zweite Band wesentlich mehr Stoff, als in einer einsemestrigen Vorlesung behandelt werden kann. Wir hoffen, dadurch den Leser anzuregen, im Selbststudium weiter in die Mathem~tik einzudringen und vie.-. Ie schone und tiefgriindige Anwend ungen der Analysis kennfmzulernen und groJ3ere Zusammenhange zu erfahren. Dem Dozenten mochten wir geeignetes Material fiir Proseminare und Seminare zur Verfiigung stellen. Fiir einen Uberblick iiber den dargebotenen Stoff verweisen wir auf das aus fiihrliche Inhaltsverzeichnis sowie auf die Einleitungen zu den einzelnen Kapiteln. Hervorheben mochten wir die zahlreichen Ubungsaufgaben, deren Bearbeitung fUr das Verstandnis der Materie unabdingbar ist. Dariiber hinaus haben wir viele niitzliche Erganzungen und Abrundungen des im Haupttext behandelten Materials in den Aufgabenteil verlegt. Auch beim Schreiben dieses Bandes konnten wir uns auf die Hilfe Ande rer verlassen. Ganz besonders danken wir unseren Freunden und Kollegen Pavol Quittner und Gieri Simonett. Sie haben nicht nur groJ3e Teile des Manuskripts sorgfaitig gelesen und uns geholfen, Fehler auszumerzen, sondern durch ihre wert vollen Verbesserungsvorschlage wesentlich zur endgiiltigen Darstellung beigetra gen. Zu groJ3em Dank sind wir auch unseren Mitarbeitern Georg Prokert, Frank Weber und Bea Wollenmann verpflichtet fiir die sehr genaue Lektiire des gesamten Manuskripts und das Aufspiiren von Druckfehlern und Ungenauigkeiten. Unser allerherzlichster Dank gilt wieder unserem "Satzperfektionisten", ohne l dessen unermiidliche Arbeit dieses Buch nie in der vorliegenden perfekten Gestalt zustandegekommen ware, sowie Andreas, der uns wieder bei Hard-und Software Problemen zur Seite stand.

VI Integralrechnung in einer Variablen.- 1 Sprungstetige Funktionen.- Treppen- und sprungstetige Funktionen.- Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen.- Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen.- 2 Stetige Erweiterungen.- Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen.- Beschränkte lineare Operatoren.- Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren.- 3 Das Cauchy-Riemannsche Integral.- Das Integral für Treppenfunktionen.- Das Integral für sprungstetige Funktionen.- Riemannsche Summen.- 4 Eigenschaften des Integrals.- Integration von Funktionenfolgen.- Das orientierte Integral.- Positivität und Monotonie des Integrals.- Komponentenweise Integration.- Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- Das unbestimmte Integral.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5 Die Technik des Integrierens.- Variablensubstitution.- Partielle Integration.- Die Integration rationaler Funktionen.- 6 Summen und Integrale.- Die Bernoullischen Zahlen.- Rekursionsformeln.- Die Bernoullischen Polynome.- Die Euler-Maclaurinsche Summenformel.- Potenzsummen.- Asymptotische Äquivalenz.- Die Riemannsche ?-Funktion.- Die Sehnentrapezregel.- 7 Fourierreihen.- Das L2-Skalarprodukt.- Die Approximation im quadratischen Mittel.- Orthonormalsysteme.- Die Integration periodischer Funktionen.- Fourierkoeffizienten.- Klassische Fourierreihen.- Die Besselsche Ungleichung.- Vollständige Orthonormalsysteme.- Stückweise stetig differenzierbare Funktionen.- Gleichmäßige Konvergenz.- 8 Uneigentliche Integrale.- Zulässige Funktionen.- Uneigentliche Integrale.- Der Integralvergleichssatz für Reihen.- Absolut konvergente Integrale.- Das Majorantenkriterium.- 9 Die Gammafunktion.- Die Eulersche Integraldarstellung.- Die Gammafunktion auf ?/(-?).- Die Gaußsche Darstellung.- Die Ergänzungsformel.- Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion.- Die Stirlingsche Formel.- Das Eulersche Betaintegral.- VII Differentialrechnung mehrerer Variabler.- 1 Stetige lineare Abbildungen.- Die Vollständigkeit von L(E, F).- Endlichdimensionale Banachräume.- Matrixdarstellungen.- Die Exponentialabbildung.- Lineare Differentialgleichungen.- Das Gronwallsche Lemma1.- Die Variation-der-Konstanten-Formel.- Determinanten und Eigenwerte.- Fundamentalmatrizen.- Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2 Differenzierbarkeit.- Die Definition.- Die Ableitung.- Richtungsableitungen.- Partielle Ableitungen.- Die Jacobimatrix.- Ein Differenzierbarkeitskriterium.- Der Rieszsche Darstellungssatz.- Der Gradient.- Komplexe Differenzierbarkeit.- 3 Rechenregeln.- Linearität.- Die Kettenregel.- Die Produktregel.- Mittelwertsätze.- Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen.- Notwendige Bedingungen für lokale Extrema.- 4 Multilineare Abbildungen.- Stetige multilineare Abbildungen.- Der kanonische Isomorphismus.- Symmetrische multilineare Abbildungen.- Die Ableitung multilinearer Abbildungen.- 5 Höhere Ableitungen.- Definitionen.- Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- Die Kettenregel.- Taylorsche Formeln.- Funktionen von m Variablen.- Hinreichende Kriterien für lokale Extrema.- 6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung.- Nemytskiioperatoren.- Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren.- Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren.- Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.- Variationsprobleme.- Die Euler-Lagrangesche Gleichung.- Klassische Mechanik.- 7 Umkehrabbildungen.- Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen.- Der Satz über die Umkehrabbildung.- Diffeomorphismen.- Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme.- 8 Implizite Funktionen.- Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen.- Der Satz über implizite Funktionen.- Reguläre Werte.- Gewöhnliche Differentialgleichungen.- Separation der Variablen.- Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit.- Des Satz von Picard-Lindelöf.- 9 Mannigfaltigkeiten.- Untermannigfaltigkeiten des ?n.- Graphen.- Der Satz vom regulären Wert.- Der Immersionssatz.- Einbettungen.- Lokale Karten und Parametrisierungen.- Kartenwechsel.- 10 Tangenten und Normalen.- Das Tangential in ?n.- Der Tangentialraum.- Charakterisierungen des Tangentialraumes.- Differenzierbare Abbildungen.- Das Differential und der Gradient.- Normalen.- Extrema mit Nebenbedingungen.- Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel.- VIII Kurvenintegrale.- 1 Kurven und ihre Länge.- Die totale Variation.- Rektifizier bare Wege.- Differenzierbare Kurven.- Rektifizierbare Kurven.- 2 Kurven in ?n.- Tangenteneinheitsvektoren.- Parametrisierungen nach der Bogenlänge.- Orientierte Basen.- Das Frenetsche n-Bein.- Die Krümmung ebener Kurven.- Eine Kennzeichnung von. Geraden und Kreisen.- Krümmungskreise und Evoluten.- Das Vektorprodukt.- Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven.- 3 Pfaffsche Formen.- Vektorfelder und Pfaffsche Formen.- Die kanonischen Basen.- Exakte Formen und Gradientenfelder.- Das Poincarésche Lemma.- Duale Operatoren.- Transformationsregeln.- Moduln.- 4 Kurvenintegrale.- Die Definition.- Elementare Eigenschaften.- Der Hauptsatz über Kurvenintegrale.- Einfach zusammenhängende Mengen.- Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals.- 5 Holomorphe Funktionen.- Komplexe Kurvenintegrale.- Holomorphie.- Der Cauchysche Integralsatz.- Die Orientierung der Kreislinie.- Die Cauchysche Integralformel.- Analytische Funktionen.- Der Satz von Liouville.- Die Fresnelschen Integrale.- Das Maximumprinzip.- Harmonische Funktionen.- Der Satz von Goursat.- Der Weierstraßsche Konvergenzsatz.- 6 Meromorphe Funktionen.- Die Laurentsche Entwicklung.- Hebbare Singularitäten.- Isolierte Singularitäten.- Einfache Pole.- Die Windungszahl.- Die Stetigkeit der Umlaufzahl.- Der allgemeine Cauchysche Integralsatz.- Der Residuensatz.- Fourierintegrale.

Erscheint lt. Verlag	1.5.1999
Reihe/Serie	Grundstudium Mathematik
Verlagsort	Basel
Sprache	deutsch
Gewicht	910 g
Themenwelt	Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Analysis
Schlagworte	Differentialrechnung • Hardcover, Softcover / Mathematik/Analysis • HC/Mathematik/Analysis • Integralrechnung
ISBN-10	3-7643-6134-4 / 3764361344
ISBN-13	978-3-7643-6134-1 / 9783764361341
Zustand	Neuware