Mathematik mit Simulationen lehren und lernen (eBook)

Plus 2000 Beispiele aus der Physik

Dieter Röß (Autor)

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2010
266 Seiten
De Gruyter (Verlag)
978-3-11-025006-0 (ISBN)

Infos

The reader is introduced to higher mathematics in an experimental way. He works with numerous interactive Java- simulations treating mathematical topics from number theory to infinitesimal calculus and partial differential equations. On the way he playfully learns the EJS simulation technique. Beyond the mathematics simulations the data pool contains a structured collection of over 2,000 physics simulations.

The unique, extensive and well documented data pool can be operated comfortably online or with files stored at the hard disk. (For download of the digital package or questions concerning the online operation contact [e-mail].) This is an ideal, modern approach to visualize mathematics and physics and to teach and learn their basic concepts by doing.

DieterRöß, Wilhelm and Else HeraeusFoundation, Hanau, Germany.

Autoren

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DieterRöß, Wilhelm und Else Heraeus Stiftung, Hanau.

DieterRöß, Wilhelm and Else HeraeusFoundation, Hanau, Germany.

Inhalt

Einführung 19
Zielsetzung und Struktur des digitalen Buchs 19
Verzeichnisse 20
Bedienung und technische Konventionen 22
Ein Simulationsbeispiel: Moebiusband 24
Physik und Mathematik 27
Mathematik als ,,Sprache der Physik`` 27
Physik und Infinitesimalrechnung 28
Zahlen 30
Natürliche Zahlen 30
Ganze Zahlen 33
Rationale Zahlen 34
Irrationale Zahlen 35
Algebraische Zahlen 35
Transzendente Zahlen 36
Die Zahl und die Quadratur des Kreises nach Archimedes 36
Reelle Zahlen 40
Komplexe Zahlen 41
Darstellung als Paar reeller Zahlen 41
Normaldarstellung mit ,,imaginärer Einheit i`` 43
Komplexe Ebene 46
Darstellung in Polarkoordinaten 47
Simulation von komplexer Addition und Subtraktion 48
Simulation von komplexer Multiplikation und Division 50
Erweiterungen der Arithmetik 51
Zahlen-Folgen, Reihen und Grenzwerte 54
Folgen und Reihen 54
Folge und Reihe der natürlichen Zahlen 54
Geometrische Reihe 55
Grenzwert, Limes 56
Fibonacci-Folge 59
Komplexe Folgen und Reihen 61
Komplexe geometrische Folge und Reihe 61
Komplexe exponentielle Folge und Exponentialreihe 63
Einfluss von begrenzter Messgenauigkeit und Nichtlinearität 67
Zahlen in Mathematik und Physik 67
Reelle Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Logistische Folge 70
Komplexe Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Fraktale 76
Funktionen und ihre infinitesimalen Eigenschaften 82
Definition von Funktionen 82
Differenzenquotient und Differentialquotient 83
Ableitungen einiger Grundfunktionen 84
Potenzen und Polynome 84
Exponentialfunktion 86
Winkelfunktionen 86
Regeln zum Differenzieren zusammengesetzter Funktionen 87
Weitere Ableitungen von Grundfunktionen 87
Reihenentwicklung (1), Taylorreihe 88
Koeffizienten der Taylorreihe 88
Näherungsformeln für einfache Funktionen 92
Ableitung von Formeln und Fehlergrenzen bei der numerischen Differentiation 93
Interaktive Visualisierung von Taylorentwicklungen 94
Graphische Darstellung von Funktionen 97
Funktionen mit ein bis drei Variablen 97
Funktionen von vier Variablen: Weltlinie in der speziellen Relativitätstheorie 100
Allgemeine Eigenschaften von Funktionen y=f(x) 102
,,Exotische`` Funktionen 103
Grenzübergang zum Differentialquotienten 104
Ableitung und Differentialgleichungen 107
Phasenraum-Diagramme 108
Integral 109
Definition der Stammfunktion durch ihre Differentialgleichung 109
Bestimmtes Integral und Anfangswert 110
Integral als Grenzwert einer Summe 111
Riemannsche Integraldefinition 113
Lebesgue-Integral 115
Regeln für die analytische Integration 116
Numerische Integrationsmethoden 117
Fehlerabschätzung bei numerischer Integration 119
Reihenentwicklung (2): Die Fourierreihe 121
Taylorreihe und Fourierreihe 121
Bestimmung der Fourier-Koeffizienten 122
Veranschaulichung der Berechnung von Koeffizienten undSpektrum 124
Beispiele für Fourier-Entwicklungen 126
Komplexe Fourierreihen 128
Numerische Lösung von Gleichungen: Iterationsverfahren 129
Veranschaulichung von Funktionen im reellen Zahlenraum 132
Standard-Funktionen y = f ( x) 132
Einige physikalisch wichtige Funktionen y = f ( x) 136
Standardfunktionen zweier Variablen z = f ( x, y) 139
Wellen im Raum z = f (x , y) 143
Parameterdarstellung von Flächen im Raum x = fx( p, q ) y = fy( p, q )
Parameterdarstellung von Kurven im Raum x = fx( t ) y = fy( t )
Veranschaulichung von Funktionen im komplexen Zahlenraum 150
Konforme Abbildung 150
Komplexe Potenzfunktion 151
Komplexe Exponentialfunktion 155
Komplexe Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens 158
Komplexer Sinus 158
Komplexer Cosinus 158
Komplexer Tangens 160
Komplexer Logarithmus 161
Vektoren 164
Vektoren und Operatoren als ,,Kurzschrift`` für n-Tupel von Zahlen und Funktionen 164
3D-Visualisierung von Vektoren 165
Grundoperationen der Vektoralgebra 168
Multiplikation mit einer Konstanten 168
Addition und Subtraktion 168
Skalarprodukt, Inneres Produkt 169
Vektorprodukt, Äußeres Produkt 169
Visualisierung der Grundoperationen für Vektoren 170
Felder 172
Skalarfelder und Vektorfelder 172
Visualisierungsmöglichkeiten für Skalar- und Vektorfelder 172
Grundformalismen der Vektoranalysis 173
Potentialfelder von Punktquellen als 3D-Fläche 176
Potentialfelder von Punktquellen als Konturdiagramm 178
Ebene Vektorfelder 178
3D-Feld von Punktladungen 183
3D-Bewegung einer Punktladung in einem homogenen elektromagnetischen Feld 183
Gewöhnliche Differentialgleichungen 187
Allgemeines 187
Differentialgleichungen als ,,Erzeugende`` von Funktionen 188
Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen 195
Numerische Lösungsverfahren, Anfangswertproblem 196
Explizites Euler-Verfahren 198
Heun-Verfahren 199
Runge-Kutta-Verfahren 202
Weiterentwicklungen 203
Simulationen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 204
Vergleich von Euler-, Heun- und Runge-Kutta-Verfahren 204
Differentialgleichung erster Ordnung 206
Differentialgleichung zweiter Ordnung 210
Differentialgleichungen für Oszillatoren und Schwerependel 214
Schlussfolgerungen für den Charakter von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 217
Chaotische Lösungen von gekoppelten Differentialgleichungen 218
Partielle Differentialgleichungen 224
Einige wichtige partielle Differentialgleichungen der Physik 224
Simulation der Diffusionsgleichung 227
Simulation der Schrödingergleichung 227
Simulation der Wellengleichung einer schwingenden Saite 230
Sammlung von Physik-Simulationen 232
Simulationen mittels OSP/EJS-Programm 232
Eine kurze Einführung in EJS (Easy Java Simulation) 234
Veröffentlichte EJS-Simulationen 241
Elektrodynamik 242
Felder und Potentiale 242
Mathematik, Differentialgleichungen 243
Mechanik 245
Newton 248
Optik 248
Oszillatoren und Pendel 249
Quantenmechanik 251
Relativitätstheorie 251
Statistik 252
Thermodynamik 252
Wellen 252
Sonstiges 254
OSP-Simulationen, die nicht mit EJS erstellt wurden 256
Liste der OSP-Launcherpakete 258
In Launcher verpackte EJS-Simulationen 262
Kosmologische Simulationen von Eugene Butikov 263
Schlussbemerkung 268
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Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 31.5.2011
• Reihe/Serie: De Gruyter Studium
• Zusatzinfo: Num. figs. and tabs.
• Verlagsort: Berlin/Boston
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Allgemeines / Lexika
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Java • Lehrerausbildung • Mathematics • Mathematik • Physics • Physik • Simulation • teacher training
• ISBN-10: 3-11-025006-3 / 3110250063
• ISBN-13: 978-3-11-025006-0 / 9783110250060