Messung beendet (eBook)

was nun?

W.H. Heini Gränicher (Autor)

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2010 | 1. Auflage
158 Seiten
vdf Hochschulverlag AG
978-3-7281-2258-2 (ISBN)

Infos

In allen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften besteht ein wachsender Bedarf nach Messergebnissen von grosser Zuverlässigkeit und hoher Messgenauigkeit. Unvermeidlicherweise – man kann sagen naturgesetzlich bedingt – treten aber Messfehler auf. Die Beherrschung der Probleme dieser Messfehler gehört deshalb zum Grundwissen nicht etwa nur von Physikern, sondern auch von Ingenieuren aller Richtungen, von Chemikern, Biologen und selbst von Medizinern, wenn für ihre Arbeit genaue messbare Grössen wichtig sind.



Das Lehrbuch ist eine kurzgefasste Einführung in das Gebiet der Auswertung von Messungen. In bezug auf systematische Fehler ist bereits die Auswahl des Messverfahrens und gut geeichter Messgeräte ausschlaggebend, denn sie wirkt sich auch auf die zufälligen Messunsicherheiten aus, die man mit den Werkzeugen der mathematischen Statistik in den Griff bekommt.



Fehlerfortpflanzungsgesetz, statistische Tests sowie Ausgleichs- und Korrelationsrechnung sind hier wichtige Stichworte. Wenn auch die Auswertungen heute meist mit Computern durchgeführt werden, so ist es dennoch unerläßlich, die verfügbaren statistischen Werkzeuge sachgerecht einzusetzen. Dazu muss man die zugrundeliegenden mathematischen Begriffe und Methoden verstehen, denn nur so können die Auswertungen richtig vorbereitet und die Resultate korrekt interpretiert werden.



Das Buch ist so gestaltet, dass es als Nachschlagewerk für die tägliche Arbeit im Laboratorium dient, aber auch die Planung von Meßverfahren und Auswertungen im Rahmen eines präventiven Fehlermanagements (z.B. für Qualitätssicherung) erleichtert.

Inhalt

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 6
1. Einleitung (Inhaltsübersicht und Terminologie) 9
1.1 Inhaltsübersicht 10
1.2 Grobe Fehler 11
1.3 Auswertekonzepte und Terminologie 11
1.4 Praktische Hinweise für den Leser 12
2. Systematische Fehler und ihre Fortpflanzung 13
2.1 Einleitung 13
2.2 Arten systematischer Fehler 13
2.3 Entdeckung und Vermeidung systematischer Fehler 16
2.4 Fortpflanzung systematischer Fehler 19
2.5 Schlussbetrachtung 22
3. Zufällige Fehler 23
3.1 Einleitung 23
3.2 Häufigkeitsverteilung und Verteilungsfunktion 24
3.3 Grundgesamtheit und Stichprobe 25
3.4 Kennzeichnung von Verteilungen: Lagegrössen 27
3.5 Kennzeichnung von Verteilungen: Dispersionsgrössen 30
3.6 Standardabweichung und Varianz berechnet aus den Daten einer Stichprobe 31
3.7 Mittlerer Fehler (Standardabweichung) eines Mittelwertes 33
3.8 Kennzeichnung einer Verteilung durch ihre Momente 36
3.9 Fehlerfortpflanzung von Zufallsmessfehlern 38
3.1 Genauigkeit (Standardabweichung) des mittleren Fehlers 43
3.11 Schlussbemerkung 44
4. Modellverteilungen der Statistik 45
4.1 Einleitung 45
4.2 Binomial- oder Bernoulli-Verteilung 45
4.3 Normalverteilung auch Gauss-Verteilung genannt 49
4.4 Poisson-Verteilung 56
4.5 Intervallverteilung und Exponentialverteilung 60
4.6 Lorentz-Verteilung auch Cauchy-Verteilung genannt 63
4.7 Abschliessende Bemerkungen zu Verteilungsfunktionen 65
4.8 Hinweise zu Tabellen von Verteilungsfunktionen 66
5. Statistische Tests 67
5.1 Problemstellung 67
5.2 Elementare Tests 67
5.3 Graphische Methoden 68
5.4 t -Test für die Konsistenz zweier Mittelwerte 70
5.5 F - Test zur Prüfung von Varianzen 74
5.6 Chi-Quadrat-Test 75
5.7 Schlussbemerkungen über statistische Tests 77
6. Ausgleichsrechnung 79
6.1 Einleitung 79
6.2 Ausgleichung einer einzigen fehlerbehafteten Grösse 80
6.3 Ausgleichung bei funktionalen Zusammenhängen 87
6.4 Ausgleichung bei Bestehen von Nebenbedingungen 104
7. Korrelation von Zufallsgrössen 107
7.1 Einleitung 107
7.2 Lineare Korrelation 107
7.3 Nichtlineare Korrelation 109
7.4 Korrelationsfunktionen 110
8. Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz und seine Anwendung für die universellen Konstanten 115
8.1 Problemstellung: Gibt es korrelierte Fehler? 115
8.2 Korrelationskoeffizient für statistische Fehler 116
8.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz zufälliger Fehler 117
8.4 Die universellen fundamentalen Konstanten der Physik 119
9. Das Schlussresultat und seine Unsicherheit sowie die Planung von Experimenten 125
9.1 Rückblick auf das Problem der Messgenauigkeit 125
9.2 Vorgehen bei der Auswertung von Messungen 128
9.3 Arbeitsschema für die Bestimmung der Unsicherheiten, allgemeiner Fall mit mehreren Eingangsgrössen 131
9.4 Folgerungen für die Planung und Durchführung von Experimenten 134
9.5 Schlussbemerkung 136
Anhänge 137
Sachverzeichnis 152

Textauszug

9. Das Schlussresultat und seine Unsicherheit sowie die Planung von Experimenten (S. 117-118)

9.1 Rückblick auf das Problem der Messgenauigkeit

Die mathematische Statistik als Theorie der zufälligen Fehler (DIN 1319–1: Messabweichungen) besitzt eine durchgestaltete und weit verzweigte Struktur. In die wichtigsten Teile haben wir soweit Einblick genommen, als es für ihre Anwendung in der praktischen Arbeit nötig erscheint. Eine Übersicht soll uns die Unterschiede zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern bewusst machen (siehe Seite 9–3). In Kenntnis der dargestellten Eigenschaften der zwei Arten von Messfehlern gilt es in der Folge zu überlegen, welche Lehren für die Planung, Durchführung und Auswertung von Messungen und Experimenten daraus zu ziehen sind.

Auf Grund der in der Übersicht vorgelegten Ergebnisse können wir den Standpunkt der Physik des 19. Jahrhunderts, der «klassischen» Physik, verstehen: Wenn man durch Verwendung pfiffig guter, experimenteller Methoden systematische Messfehler vermeidet, sollte eine physikalische Grösse mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmbar sein, sofern man nur die Messung genügend oft wiederholt. Dabei ist allerdings vorauszusetzen, dass die gesuchte Grösse zeitlich hinreichend konstant ist und jedenfalls einen definierten zeitlichen Mittelwert besitzt.

Es ist ein zentrales Anliegen jedes Forschers, im Rahmen der gestellten Aufgabe und der verfügbaren Mittel, möglichst genaue Resultate zu erhalten und dazu muss er sich stets statistischer Methoden der Auswertung bedienen. Solchem Bemühen sind aber aus verschiedenen, naturgesetzlichen Gründen Grenzen gesetzt. Wie die moderne Physik lehrt, sind dies in bestimmten Fällen erkannte und grundsätzliche, von der Natur vorgegebene Grenzen: Die eine Art von Grenzen der Messgenauigkeit (ggf. der Nachweisbarkeit) ist bedingt durch die thermischen Schwankungen wie z.B. die Brownsche Bewegung und das elektrische Widerstandsrauschen. Eine andere Art liegt in der Quantennatur vieler physikalischer Grössen und Gesetze, so z.B. die endliche Grösse der Elementarladung und als Konsequenz daraus der Schroteffekt in elektrischen stromführenden Elementen, ferner die Lichtquanten-Fluktuationen, die Heisenbergsche Unschärfenrelation und dgl.

Die in neuerer Zeit bekannt gewordenen und intensiv untersuchten Erscheinungen des deterministischen Chaos können eine sinnvolle Messung überhaupt verunmöglichen.

Kommentare zur «Gegenüberstellung der Arten von Messfehlern»
Siehe die Tabelle rechts auf der Seite 9–3.

• Diese Tabelle stellt eine Zusammenfassung der wichtigsten Aussagen (Begriffe und Ergebnisse) dar, insbesondere der Kap. 2, 3, 5 und 8. Die sich entsprechenden Aussagen stehen —soweit möglich— sich jeweilen auf gleicher Höhe gegenüber.

• Die Kennzeichnung der Messfehler als systematisch oder statistisch ist von der Art der Messung, bzw. Art der Anwendung abhängig. Ein statistischer Messfehler —im Schlussresultat als Standardabweichung angegeben— wird für einen anderen Experimentator zu einer systematischen Unsicherheit, nämlich dann, wenn das Resultat dieser Messgrösse in den Auswertungen des anderen Experiments als Hilfsgrösse verwendet wird.

• Die groben Fehler (siehe den Hinweis auf Seite 1–3) sind in diesem Kapitel und in der Tabelle nicht erwähnt und werden nicht (mehr) behandelt. Es wird davon ausgegangen, dass sie durch grosse Sorgfalt und Kontrollen vermieden worden sind!
Rückblende zum Thema Terminologie (vgl. auch Abschnitt 1.3)

• Die DIN 1319–1 und zugehörige Normen verwenden auf deutsch den Begriff systematische bzw. zufällige «Messabweichung». Auf englisch und französisch lauten diese Begriffe im ISO Guide und in DIN 1319–1 «error» bzw. «erreur». Dies entspricht auch der traditionellen deutschen Terminologie «Messfehler» oder kurz «Fehler», wie sie auch im vorliegenden Buch Verwendung findet. Dies geschieht aus didaktischen Gründen und um den Anschluss an die heute vorhandene Literatur sowie die gegenwärtig verbreiteten Gewohnheiten der Praxis nicht zu verlieren. Insbesondere bei ihrem ersten Auftreten sind aber den in diesem Buche verwendeten Namen zusätzlich die Begriffe des ISO Guide und der DIN beigefügt.

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 1.1.2010
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Statistik
• Themenwelt: Technik
• ISBN-10: 3-7281-2258-0 / 3728122580
• ISBN-13: 978-3-7281-2258-2 / 9783728122582