Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques (eBook)

Mourad Choulli (Autor)

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2009
252 Seiten
Springer Berlin (Verlag)
9783642024603 (ISBN)

Infos

This book is devoted to an introduction of elliptic and parabolic inverse problems. Our goal is to present some recent methods for establishing uniqueness and stability results. We study some classical elliptic inverse problems: inverse conductivity problem, detection of corrosion or cracks and inverse spectral problems. Among the parabolic inverse problems we consider the classic problem of finding an initial distribution of heat and the location of sources. We hope that this book will interest all those who want to learn the mathematical analysis of inverse problems.

Inhalt

Avant-propos 7
Introduction 8
Table des mati`eres 16
Notations 19
1 Rappels et compléments 20
1.1 Espaces Lp et espaces de Hölder 20
1.1.1 Espaces Lp() 20
1.1.2 Espaces Lp(a,b X)
1.1.3 Les espaces de Hölder 22
1.1.4 Ouverts réguliers 23
1.2 Quelques éléments de la théorie des distributions 24
1.2.1 Définitions 24
1.2.2 Produit de convolution 25
1.2.3 Transformée de Fourier 26
1.3 Espaces de Sobolev 28
1.3.1 Les espaces Hs 28
1.3.2 Les espaces Wm,p 30
1.3.3 Les espaces Hk(a,b X)
1.3.4 Quelques formules d'intégration par parties 33
1.3.5 Espaces de type H 33
1.3.6 Inégalités de Poincaré 34
1.3.7 Dérivation tangentielle 35
1.4 Equations elliptiques 36
1.4.1 Régularité elliptique 36
1.4.2 Problème de transmission 38
1.4.3 Principe du maximum pour les solutions classiques 39
1.4.4 Principe du maximum et inégalité de Harnack pour les solutions variationnelles 40
1.4.5 Unicité du prolongement 41
1.4.6 Fonctions harmoniques sphériques et fonctions de Gegenbauer 42
1.5 Equations paraboliques 43
1.5.1 Régularité parabolique 43
1.5.2 Principe du maximum 47
1.5.3 Unicité du prolongement 49
1.5.4 Un petit aperçu de la théorie des semi-groupes 49
2 Problèmes inverses elliptiques 53
2.1 Détermination d'un potentiel dans l'équation de Schrödinger : construction de solutions ``optique géométrique'' 53
2.1.1 Solutions ``optique géométrique" et densité des produits de solutions 53
2.1.2 Détermination du potentiel à partir de l'opérateur DN 60
2.1.3 Détermination du potentiel à partir d'un opérateur DN partiel 66
2.1.4 Une méthode directe de construction de solutions ``optique géométrique'' 69
2.1.5 Construction de solutions ``optique géométrique'' à l'aide d'une inégalité de Carleman 73
2.2 Un problème spectral inverse : un théorème de Borg-Levinson multidimensionnel 78
2.2.1 Unicité 78
2.2.2 Stabilité 84
2.2.3 Retour sur la stabilité du problème hyperbolique 92
2.2.4 Une extension 98
2.3 Détermination de la conductivité à la frontière : une méthode de solutions singulières 103
2.3.1 Construction de solutions singulières 103
2.3.2 Stabilité dans le détermination de la conductivité à la frontière 110
2.3.3 Une alternative aux solutions singulières 115
2.4 Détermination d'un coefficient frontière 124
2.4.1 Cas où le domaine est une couronne : une méthode de décomposition en série de Fourier 124
2.4.2 Cas d'un domaine rectangulaire : méthode fondée sur la transformée de Fourier 128
2.4.3 Cas d'un domaine quelconque régulier : une méthode d'inégalité de Carleman 137
2.5 Stabilité pour deux problèmes inverses géométriques : méthode utilisant la dérivation par rapport au domaine 142
2.5.1 Identification d'un sous-domaine 143
2.5.2 Un problème de conductivité inverse 148
2.6 Détection de fissures 156
2.6.1 Applications quasi-conformes, fonctions courant et points critiques géométriques 156
2.6.2 Stabilité de la détermination d'une fissure régulière 160
2.6.3 Points conductifs et points de capacité 170
2.6.4 Unicité de la détermination de fissures irrégulières 171
3 Problèmes inverses paraboliques 176
3.1 Identification d'un coefficient ou d'une nonlinéarité : méthodes fondées sur le principe du maximum 176
3.1.1 Identification d'un coefficient : existence 176
3.1.2 Unicité de la détermination d'un terme nonlinéaire 178
3.2 Détermination d'un coefficient ou d'une source : méthode d'inégalités de Carleman 180
3.2.1 Inégalité de Carleman 180
3.2.2 Inégalité d'observabilité pour l'équation de la chaleur 186
3.2.3 Stabilité de la détermination d'un terme source 187
3.2.4 Stabilité de la détermination d'un coefficient 191
3.3 Détermination d'une source singulière 194
3.4 Stabilité de la détermination d'une distribution initiale de la chaleur 200
3.5 Une conséquence de la version n-dimensionnelle du théorème de Borg-Levinson 204
3.6 Détermination d'un coefficient dépendant du temps : méthode fondée sur les solutions ``optique géométrique'' 209
3.6.1 Solutions ``optique géométrique'' et densité des produits de solutions 210
3.6.2 Un résultat d'unicité 213
3.6.3 Un résultat de stabilité 216
3.7 Stabilité de la détermination d'un terme semilinéaire 220
3.7.1 Minoration gaussienne pour la solution fondamentale 221
3.7.2 Démonstration des Théorèmes 3.33 et 3.34 228
Littérature 254
Index 262

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 3.9.2009
• Reihe/Serie: Mathématiques et Applications
• Reihe/Serie: Mathématiques et Applications
• Zusatzinfo: XXII, 252 p.
• Verlagsort: Berlin
• Sprache: französisch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: 35R30, 35J25, 35K20 • Distribution • Partial differential equations • problèmes aux limites elliptiques • problèmes aux limites paraboliques • problèmes inverses elliptiques • problèmes inverses paraboliques
• ISBN-13: 9783642024603 / 9783642024603