Analysis 1 (eBook)

Grundlagen und Differenzialrechnung

Hans-Jürgen Dobner, Bernd Engelmann (Autoren)

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2007 | 2. Auflage
184 Seiten
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
978-3-446-41471-6 (ISBN)

Infos

Analysis 1 - Grundlagen und Differenzialrechnung, 2., aktualisierte Auflage



Analysis gehört zum Pflichtprogramm der mathematischen Grundausbildung von Studierenden ingenieurwissenschaftlicher, wirtschaftswissenschaftlicher sowie informations- und kommunikationstechnischer Bachelor- und Masterstudiengänge an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen.



Das in zwei Bänden erscheinende Arbeits- und Übungsbuch zur Analysis in der Reihe "Mathematik-Studienhilfen" gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen mathematischen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einüben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollständigem Lösungsweg in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich insbesondere zum Selbstudium und zur Prüfungsvorbereitung.



Im vorliegenden Band Analysis 1 reichen die Themen von Beweismethoden über Zahlenfolgen, Reihen und Funktionen bis zur Differenzialrechnung.



Die Autoren



Hans-Jürgen Dobner ist Professor für Angewandte Mathematik am Fachbereich IMN der HTWK Leipzig, er hält Mathematikvorlesungen in Bachelor- und Masterstudiengängen für Mathematiker und Informatiker.



Bernd Engelmann ist Professor für Numerische Mathematik, er hält Vorlesungen zur Höheren Mathematik für Ingenieure und zur Numerik für Informatiker und Mathematiker in Bachelor- und Masterstudiengängen.

Inhalt

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
1 Reelle und komplexe Zahlen 10
1.1 Natürliche, ganze und reelle Zahlen 10
1.2 Ungleichungen und Abschätzungen 13
1.3 Komplexe Zahlen 19
2 Mathematische Beweismethoden 32
2.1 Elementare Logik 32
2.2 Direkter Beweis 36
2.3 Indirekter Beweis 39
2.4 Induktiver Beweis 44
3 Zahlenfolgen und Konvergenz 53
3.1 Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte 53
3.2 Rechnen mit konvergenten Folgen 57
3.3 Die Eulersche Zahl e als Grenzwert 60
3.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen 62
4 Zahlenreihen 69
4.1 Zahlenreihen und geometrische Reihen 69
4.2 Konvergenzkriterien für Reihen 73
4.3 Rechnen mit konvergenten Reihen 79
4.4 Beispiele zur Anwendung der Kriterien 80
5 Funktionen 88
5.1 Der Funktionsbegriff 88
5.2 Eigenschaften von Funktionen 90
5.3 Funktion und Umkehrfunktion 94
5.4 Grenzwerte von Funktionen 97
5.5 Stetigkeit von Funktionen 102
6 Die elementaren Funktionen 111
6.1 Polynome und Horner-Schema 111
6.2 Gebrochenrationale Funktionen 121
6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 124
6.4 Potenz- und Wurzelfunktionen 125
6.5 Winkel- und Arkusfunktionen 126
6.6 Hyperbel- und Areafunktionen 133
7 Die Ableitung 137
7.1 Das Tangentenproblem 137
7.2 Differenziationsregeln 141
7.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 147
7.4 Das Differenzial 150
8 Anwendungen der Differenzialrechnung 153
8.1 Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung 153
8.2 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe 156
8.3 Die Regeln von l’Hospital 164
8.4 Die Bestimmung von Nullstellen und Extremwerten 168
Lösungen 173
Literaturverzeichnis 181
Sachwortverzeichnis 182

Textauszug

6 Die elementaren Funktionen (S. 110)

6.1 Polynome und Horner-Schema

Polynome nehmen eine zentrale Stellung in der Analysis und den Anwendungen ein. Dies ist zum Ersten dadurch bedingt, dass sich differenzierbare Funktionen zumindest lokal durch Polynome beliebig genau annähern lassen (vgl. den Satz von Taylor im Abschnitt 8.2) und zum Zweiten, dass Polynome allein mit Hilfe der elementaren Grundoperationen berechenbar sind und damit eine numerische Auswertung z. B.auf einem Digitalrechner ohne zusätzliche Näherungen möglich ist. Funktionen, die sich allein mit Hilfe endlich vieler Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) berechnen lassen, werden als rationale Funktionen bezeichnet.

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 1.1.2007
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• ISBN-10: 3-446-41471-1 / 3446414711
• ISBN-13: 978-3-446-41471-6 / 9783446414716