Brückenkurs Mathematik für Studieneinstieger aller Disziplinen (eBook)

Guido Walz, Frank Zeilfelder, Thomas Rießinger (Autoren)

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2005 | 1. Auflage
363 Seiten
Spektrum Akademischer Verlag
978-3-8274-1610-0 (ISBN)

Infos

Dieses Buch erspart Ihnen die Einstiegsprobleme in die Mathematik, indem es Ihnen auf unterhaltsame Weise eine Brücke baut, die Sie sanft über alle Untiefen hinweg ins Innere der Hochschulmathematik hineingeleitet. Die Brücke beginnt auf der einen Seite beim einfachen Zahlenrechnen, wie es Ihnen vermutlich in der Mittelstufe schon begegnet ist, und führt Sie hinüber bis zu den Grundlagen von Linearer Algebra, Differenzialrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Hauptinhalte Ihrer ersten Semester darstellen werden. Diesen Inhalten werden Sie dort immer gegenüber stehen, und bei deren Behandlung können Sie dann beruhigt sagen: "Kenn' ich schon!"



Den Autoren ist es gelungen, ein Mathematik-Buch für Studierende aller Fachrichtungen und die berufliche Weiterbildung zu schreiben, das man von vorne bis hinten einfach lesen kann, ohne im Formalismus oder in humorloser Trockenheit verloren zu gehen, das einem nach dem Lesen aber dennoch das nötige Wissen und die fachliche Sicherheit vermittelt hat. Zu jedem Kapitel finden sich Übungsaufgaben, mit deren Hilfe die vermittelten Inhalte eingeübt und vertieft werden können.  

Inhalt

Inhaltsverzeichnis 6
Einleitung und Vorwort 8
1 Elementare Rechenmethoden 10
1.1 Grundrechenarten 10
1.2 Bruchrechnung und rationale Zahlen 14
1.3 Klammerrechnung 22
1.4 Potenzen und Wurzeln 23
1.5 Spezielle Ausdrücke und Notationen 30
2 Grundlegendes über Funktionen 42
2.1 Definitionsbereich, Wertevorrat und Bildmenge 43
2.2 Verkettung von Funktionen Monotonie und Umkehrbarkeit
2.3 Potenz- und Wurzelfunktionen 58
2.4 Polynome und rationale Funktionen 63
2.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen 75
3 Gleichungen und Ungleichungen 86
3.1 Lineare Gleichungen 88
3.2 Quadratische Gleichungen 92
3.3 Polynomgleichungen höherer Ordnung 100
3.4 Wurzel- und Exponentialgleichungen 107
3.5 Ungleichungen 117
4 Geometrie 124
4.1 Dreiecke und trigonometrische Funktionen 124
4.2 Ebene geometrische Figuren 151
5 Einführung in die Lineare Algebra 168
5.1 Vektoren 169
5.2 Matrizen 184
5.3 Lineare Gleichungssysteme 203
5.4 Analytische Geometrie 224
6 Differenzial- und Integralrechnung 238
6.1 Erste Ableitung von Funktionen und Ableitungsregeln 238
6.2 Anwendungen von Ableitungen und Kurvendiskussion 263
6.3 Integration von Funktionen 289
7 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 312
7.1 Kombinatorik 313
7.2 Relative Häufigkeit und klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 322
7.3 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 329
7.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 334
Lösungen der Übungsaufgaben 338
Übungen Kapitel 1 338
Übungen Kapitel 2 340
Übungen Kapitel 3 342
Übungen Kapitel 4 343
Übungen Kapitel 5 346
Übungen Kapitel 6 350
Übungen Kapitel 7 353
Literatur 356
Stichwortverzeichnis 358
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Textauszug

2.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen (S. 66-67)

Nehmen Sie einmal an, Sie hätten einen reichen Gönner, der Ihnen etwas Gutes tun will und folgendes Angebot macht: "Also, du kannst wählen: Entweder ich schenke dir auf der Stelle eine Million Euro oder aber ich zahle dir an jedem Tag des nächsten Monats eine gewisse Summe aus; am ersten Tag zwei Euro, am zweiten Tag vier Euro, am dritten Tag acht Euro, am vierten Tag sechzehn Euro und so weiter, also an jedem Tag den doppelten Betrag des Vortages, bis zum dreißigsten Tag des Monats."

Machen Sie jetzt bloß keinen Fehler! Lesen Sie noch ein paar Zeilen weiter, bevor Sie sich entscheiden! Im Vergleich zu dem Angebot, eine ganze Million bar auf die Tatze zu bekommen, sieht natürlich die zweite Möglichkeit auf den ersten Blick kümmerlich aus: Nach vier Tagen haben Sie insgesamt gerade mal 2 + 4 + 8 + 16 = 30 Euro in der Hand, und auch wenn Sie eine Woche warten, nennen Sie nur 2+4+8+16+32+64+128 = 254 Euro Ihr eigen.

Aber keine Angst, es wird besser! Um das zu untermauern, überlege ich jetzt erst mal in Ruhe, wie man den Auszahlungsbetrag an einem beliebigen Tag des Monats berechnen kann. Am ersten Tag sollten es 2 Euro sein, am zweiten das Doppelte, also 2 · 2 = 4, am Tag darauf wiederum das Doppelte des Vortags, also 2 · 2 · 2 = 8, tags darauf dann 2 · 2 · 2 · 2 = 16 usw. Erinnert Sie das an etwas? Genau um diese lästige Schreibweise der vielen Multiplikationspünktchen loszuwerden, wurde im ersten Kapitel die Potenzschreibweise eingeführt. Mit deren Hilfe kann ich nun ganz einfach formulieren: Die Auszahlung am n-ten Tag beträgt 2n Euro. Berechnen Sie hiermit die Auszahlung am fünfzehnten Tag, also zur Mitte des Monats, so erhalten Sie immerhin schon 215 = 32.768 Euro. Auch noch nicht sehr beeindruckend? Nun ja, dann wagen wir jetzt gleich mal den Sprung ans Monatsende: Am dreißigsten Tag erhalten Sie 

                                                    2³⁰ = 1.037.741.824 Euro,

also mehr als eine Milliarde und somit mehr als das Tausendfache der als Alternative angebotenen Million. Angesichts solcher Summen kann ich fast großzügig darauf verzichten zu erwähnen, dass Sie ja in unserem Modell an den Tagen zuvor auch schon eine ganz Menge Geld abgestaubt haben, beispielsweise am 29. Tag die Hälfte der gerade berechneten Summe, also mehr als eine halbe Milliarde Euro.

Was hier zum Tragen kommt, ist das fast unvorstellbar schnelle Anwachsen der Exponentialfunktion, in diesem Fall derjenigen zur Basis 2. Wenn Sie nun zögern, weil Sie weit und breit keine Funktion entdecken können, so liegt das wohl daran, dass ich oben die Variable mit n bezeichnet, also 2ⁿ geschrieben habe, und man n eben stets mit einer natürlichen Zahl identifiziert. In der Schreibweise f : R -> R , f(x) = 2x sieht das Ganze schon eher nach einer Funktion aus. Tatsächlich kann man hier für x jede reelle Zahl einsetzen und erhält einen vernünftigen Funktionswert.

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 1.1.2005
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• ISBN-10: 3-8274-1610-8 / 3827416108
• ISBN-13: 978-3-8274-1610-0 / 9783827416100